Permutación grupo de ecuación: $x^{20} = \sigma$

Question

Necesito un poco de ayuda para resolver el siguiente grupo de permutaciones ecuación: $$ x^{20} = \sigma $$ donde

$$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ 7 & 4 & 5 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 12 & 2 & 13 & 9 & 11 \end{pmatrix}. $$

He encontrado ya que el producto de ciclos disjuntos es $(1 \ 7 \ 3 \ 5)(2 \ 4 \ 6 \ 8 \ 10)(9 \ 12)(11 \ 13)$, la orden es $order(\sigma)=20$ y el signo es $sgn(\sigma)=1$, pero no sé cómo utilizar todos estos para resolver la ecuación anterior.

Answer 1

Así, los ciclos de longitud impar son incluso permutaciones, y los ciclos de longitud son permutaciones impares. Aquí tenemos tres ciclos de longitud y un ciclo de longitud impar, y por lo $\operatorname{sign}(\sigma)=(-1)^3\cdot1=-1$. Por otro lado, $\operatorname{sign}(x^{20})=(\operatorname{sign}(x))^{20}=1$, y de manera que la ecuación no tiene ninguna solución en absoluto.

Answer 2

No hay soluciones:

Si $n=\mid x\mid$, a continuación, $\frac n{\operatorname{gcd}(n,20)}=20\implies n=400$.

Pero no hay elementos de orden $400$ en $S_{13}$. El más pequeño del grupo simétrico con un elemento de orden $400$ es $S_{33}$, en donde hay espacio para una permutación de tipo de ciclo $(8,25)$.