Polinomio igual al polinomio de menor grado

Question

Estoy estudiando Álgebra Lineal Hecho a la Derecha, en el capítulo 2 problema 6 estados:

Demostrar que el verdadero espacio vectorial consta de todos los real continua de las funciones con valores en el intervalo de $[0,1]$ es de infinitas dimensiones.

Mi solución:

Considerar la secuencia de las funciones de $x, x^2, x^3, \dots$ Este es un linealmente independientes de la secuencia infinita de funciones por lo tanto, este espacio no puede tener un número finito de base. Sin embargo esta prueba se basa en el hecho de que no $x^n$ es una combinación lineal de los anteriores términos. En otras palabras, es posible que un polinomio de grado $n$ a ser igual a un polinomio de grado menor que $n$. Creo que esto no es posible, pero ¿alguien sabe cómo demostrarlo? Más específicamente, ¿podría la siguiente ecuación siempre será verdad para todos los $x$?

$x^n = \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_kx^k$ donde cada una de las $a_k \in \mathbb R$

Answer 1

Entonces el polinomio $\displaystyle x^n-\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k$ habría infinitamente muchas raíces, pero puede tener $n$, en la mayoría de los.

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Otra manera de lidiar con este problema se basa en la definición de polinomios en una variable $x$) como expresiones del tipo $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ donde $n\in\{0,1,2,\dots\}$ y cada una de las $a_n$ es real. Bajo esta definición, el polinomio $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ es igual al polinomio $b_0+b_1x+a_2x^2+\cdots+b_nx^n$ si y sólo si los coeficientes son iguales, es decir, si y sólo si $a_0=b_0$, $a_1=b_1$, y así sucesivamente. Bajo esta definición, el problema descrito aquí es trivial.

¿Qué puedo demostrar arriba entonces? Así, para cada una de las $P(x)\in\mathbb{R}[x]$, con la correspondiente función polinómica de $\mathbb R$ a $\mathbb R$. Lo he demostrado anteriormente es que esta correspondencia uno-a-uno - cuando estamos tratando con $\mathbb R$. Es todavía uno-a-uno, si estamos tratando con cualquier campo con charactristic $0$, como $\mathbb Q$ o $\mathbb C$. Pero esto no es cierto en general. Por ejemplo, si nuestro campo es$\mathbb{F}_2$,, a continuación, $x$ e $x^2$ son distintos polinomios. Pero corresponden a la misma función polinómica.

Answer 2

Por definición, $x^n + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k x^k$ es un polinomio de grado $n$. Un polinomio de grado $n$ puede tener en la mayoría de $n$ ceros en cualquier campo, y $[0,1]$ tiene más de $n$ elementos.

Answer 3

Dos funciones idénticas idénticas derivados. Diferenciar su igualdad de $n$ veces y verás los dos lados no pueden ser idénticos.

Answer 4

Supongamos $x^n = \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_kx^k$. Considere lo que sucede cuando $x$ es mucho más grande de lo $|a_1|+\ldots+|a_{n-1}|$. Por la desigualdad de triángulo, se obtiene una contradicción. Esencialmente, usted está demostrando que $x^n$ crece más rápido que cualquier grado $n-1$ polinomio...