La fórmula para la suma de los cuadrados de los números

Question

Tenemos la conocida fórmula

$$\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 .$$

Si la diferencia entre el más cercano de los números es menor, se obtiene, por ejemplo

$$\frac{n \times (n + 0.1) (2 n + 0.1) }{6 \cdot 0.1} = 0.1^2 + 0.2^2 + \cdots + n^2 .$$

Es fácil de comprobar. Ahora bien, si la diferencia entre el más cercano de los números se hace más pequeño posible, vamos a obtener

$$\frac{n \cdot (n + 0.0..1) \cdot (2 n + 0.0..1)}{6 \cdot 0.0..1} = 0.0..1^2 + 0.0..2^2 + \cdots + n^2$$

Así se puede concluir que

$$\frac{2n ^ 3}{6} = \frac{n ^ 3}{3} = \frac{0.0..1 ^ 2 + 0.0..2 ^ 2 + \cdots + n ^ 2}{0.0..1}.$$

Es esta conclusión correcta?

Answer 1

Supongamos que queremos calcular la suma de los cuadrados con las sucesivas diferencias $\epsilon$ de $0$ a algunos fijos $n$ (requerimos $\frac{n}{\epsilon}\in\mathbb{N}$ para este cálculo, sin embargo, para la formulación general de las integrales y sumas de Riemann, esto es , no es necesario), que es

$$S_\epsilon = \sum_{i=0}^{\frac{n}{\epsilon}}(i\epsilon)^2$$

dejando $m = \frac{n}{\epsilon}$ esta suma es equivalente a

$$\sum_{i=0}^{m}i^{2}\left(\frac{n}{m}\right)^2$$

que podemos escribir como

$$=\left(\frac{n^2}{m^2}\right)\sum_{i=0}^{m}i^2=\left(\frac{n^2}{m^2}\right)\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$$

$$= \frac{\left(\frac{n}{m}\right)m\left(\frac{n}{m}\right)(m+1)\left(\frac{n}{m}\right)(2m+1)}{6\left(\frac{n}{m}\right)}=\frac{n(n+\epsilon)(2n+\epsilon)}{6\epsilon}$$

tomando el límite de $\epsilon\rightarrow 0$ esto es equivalente a $m\rightarrow\infty$ e $S_{\epsilon\rightarrow 0}$ es fácilmente parecen ser divergentes a $+\infty$. Sin embargo, $S_{\epsilon\rightarrow 0}\cdot \epsilon$ es convergente (que fácilmente se evaluó mediante la simple sustitución $\epsilon = 0$, lo que podemos hacer por la continuidad de la expresión) y es de cierto interés. En particular, podemos escribir

$$S = S_{\epsilon\rightarrow 0}\cdot\epsilon=\lim_{m\rightarrow\infty}\ \sum_{i=0}^{m}\left(i\frac{n}{m}\right)^2\left(\frac{n}{m}\right)$$

reconocemos esto como la Suma de Riemann que define la integral

$$\lim_{m\rightarrow\infty}\ \sum_{i=0}^{m}\left[f\left(x_0 + i\frac{n}{m}\right)\frac{n}{m}\right]=\int_{x_0}^{x_0 + n}f(x)\ dx$$

para $f(x) = x^2$ e $x_0 = 0$. (En particular, esto es la suma de Riemann). Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

$$\int_{0}^{n}x^2\ dx = \frac{x^3}{3}\bigg|_{0}^{n} = \frac{n^3}{3}$$

que es exactamente la cantidad que usted cita.