Supongamos que queremos calcular la suma de los cuadrados con las sucesivas diferencias $\epsilon$ de $0$ a algunos fijos $n$ (requerimos $\frac{n}{\epsilon}\in\mathbb{N}$ para este cálculo, sin embargo, para la formulación general de las integrales y sumas de Riemann, esto es , no es necesario), que es
$$S_\epsilon = \sum_{i=0}^{\frac{n}{\epsilon}}(i\epsilon)^2$$
dejando $m = \frac{n}{\epsilon}$ esta suma es equivalente a
$$\sum_{i=0}^{m}i^{2}\left(\frac{n}{m}\right)^2$$
que podemos escribir como
$$=\left(\frac{n^2}{m^2}\right)\sum_{i=0}^{m}i^2=\left(\frac{n^2}{m^2}\right)\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} $$
$$= \frac{\left(\frac{n}{m}\right)m\left(\frac{n}{m}\right)(m+1)\left(\frac{n}{m}\right)(2m+1)}{6\left(\frac{n}{m}\right)}=\frac{n(n+\epsilon)(2n+\epsilon)}{6\epsilon}$$
tomando el límite de $\epsilon\rightarrow 0$ esto es equivalente a $m\rightarrow\infty$ e $S_{\epsilon\rightarrow 0}$ es fácilmente parecen ser divergentes a $+\infty$. Sin embargo, $S_{\epsilon\rightarrow 0}\cdot \epsilon$ es convergente (que fácilmente se evaluó mediante la simple sustitución $\epsilon = 0$, lo que podemos hacer por la continuidad de la expresión) y es de cierto interés. En particular, podemos escribir
$$S = S_{\epsilon\rightarrow 0}\cdot\epsilon=\lim_{m\rightarrow\infty}\ \sum_{i=0}^{m}\left(i\frac{n}{m}\right)^2\left(\frac{n}{m}\right)$$
reconocemos esto como la Suma de Riemann que define la integral
$$\lim_{m\rightarrow\infty}\ \sum_{i=0}^{m}\left[f\left(x_0 + i\frac{n}{m}\right)\frac{n}{m}\right]=\int_{x_0}^{x_0 + n}f(x)\ dx$$
para $f(x) = x^2$ e $x_0 = 0$. (En particular, esto es la suma de Riemann). Por el Teorema Fundamental del Cálculo,
$$\int_{0}^{n}x^2\ dx = \frac{x^3}{3}\bigg|_{0}^{n} = \frac{n^3}{3}$$
que es exactamente la cantidad que usted cita.