Funciones con un gran conjunto de singularidades

Question

Def: una función $f$ definido en $[0,1]$ es total en $x$ si la imagen de $f$ cuando se restringe a cualquier vecindad de $x$ es $\mathbb{R}$ .

Sé que hay algunas funciones que son totales en cada $x$ en $[0,1]$ pero estos suelen ser discontinuos en todas partes.

Estoy buscando funciones a.e . continuas en $[0,1]$ que son totales en un conjunto "grande". Obviamente, el conjunto no puede ser ni denso ni tener medida positiva. ¿Pero puede ser incontable?

Alternativamente, ¿qué pasa si lo cambiamos para que tengamos continuidad en un mero conjunto denso? ¿Puede entonces el conjunto "total" tener una medida positiva?

También estaría bien alguna referencia al estudio de funciones con "grandes" conjuntos de singularidades en intervalos finitos. Gracias.

Answer 1

Para responder a una de sus preguntas:

Dejemos que $g:(-1,1) \to \mathbb{R}$ sea dada por $g(x) = \frac{\sin \frac 1x}{x}$ $(g(0) = 0)$ . Sea $\mathcal{C}$ denotan el Conjunto de Cantor. Sea $\{I_n\}_{n \geq 1}$ sea la secuencia de intervalos abiertos eliminados en la construcción de $\mathcal{C}$ .

Construimos $f$ mediante el escalado y el desplazamiento $g$ (mediante transformaciones adecuadas $x \mapsto ax+b$ ) a cada $I_i$ y dejar que $f(x)=0$ para $x \in \mathcal{C}$ .

Esta función es total para cada $x \in \mathcal{C}$ y continua excepto en $\mathcal{C}$ y un punto en cada $I_n$ .

Por lo tanto, la función es total en un conjunto incontable y continua en casi todas partes.