Encontrar la primera derivada $y=\sqrt\frac{1+\cosθ}{1-\cosθ}$

Question

$$y=\sqrt\frac{1+\cosθ}{1-\cosθ}$$ my professor said that the answer is $$y'=\frac{1}{\cosθ-1}$$ she said use half angle formula but I just end up with $\frac{(-2\sinθ)\sqrt{(1-\cosθ)(1+\cosθ)}}{2(1-\cosθ)^2(1+\cosθ)}$ I used the quotient rule. I also know that ${(1-\cosθ)^2}$ can be $\sinθ^2$ pero trato de aplicar a mi identidades, pero todavía es malo.

Answer 1

$$y=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\sqrt{\frac{2\cos^2\theta/2}{2\sin^2\theta/2}}=|\cot\theta/2|$$

También,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\cot(\theta/2)=-\frac12\frac1{\sin^2\theta/2}$$

Por lo tanto, cuando se $\cos\theta/2\neq0$ e $\sin\theta/2\neq 0$, que es al $\theta\notin\pi\Bbb Z$,

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}=-\frac12\frac{\mathrm{sign}(\cot \theta/2)}{\sin^2\theta/2}$$

Y desde $2\sin^2\theta/2=1-\cos\theta$,

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}=-\frac{\mathrm{sign}(\cot \theta/2)}{1-\cos\theta}$$

Y, sin embargo, una mayor simplificación, al $\sin\theta/2\neq 0$,

$$\mathrm{sign}(\cot \theta/2)=\mathrm{sign}(\cos (\theta/2)\sin (\theta/2))=\mathrm{sign}(\sin\theta)$$

Así que, aún así, para $\theta\notin\pi\Bbb Z$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}=-\frac{\mathrm{sign}(\sin\theta)}{1-\cos\theta}$$

Ya que no puede ser absolutamente claro, aquí es un gráfico de $y$, para mostrar cómo la $y$ difiere de $\cot\theta/2$. Observe el ángulo cuando la curva que alcanza $0$: $y$ por tanto no es diferenciable aquí.

Answer 2

Tenemos

$\dfrac{(-2\sinθ)\sqrt{(1-\cosθ)(1+\cosθ)}}{2(1-\cosθ)^2(1+\cosθ)}=-\dfrac{2\sin\theta|\sin\theta|}{2(1-\cos\theta)(1-\cos^2\theta)}$

=-signo$(\sin\theta)\dfrac1{1-\cos\theta}$

Answer 3

El ángulo medio de las fórmulas son a menudo útiles: $$\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2} \text{ and } \sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$$

$$y=\sqrt{\dfrac{(1+\cos\theta)/2}{(1-\cos\theta)/2}}=\sqrt{\dfrac{\cos^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)}}=\sqrt{\cot^2(\theta/2)}=\left|\cot(\theta/2)\right|$$

La derivada de $\cot(x)$ es $(\cot(x))'=-(1+\cot^2(x))=\dfrac{-1}{\sin^2x}$

Answer 4

$\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}{(1-\cos\theta)^2}=\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)^2$

Por eso,$\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=$signo de $(\sin\theta)\cdot\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$

Ahora aplicar la Regla del cociente

Answer 5

$$ y^2=\frac {1+\cos\theta}{1-\cos\theta}.$$

La diferenciación de da

$$\frac {d}{d\theta} y^2=\frac {d}{d\theta} \frac {1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = -\frac{2\sin\theta}{(1-\cos\theta)^2}. $$

Usando la regla de la cadena da para el lado izquierdo

$$2y\frac {dy}{d\theta}. $$ Hence, $$\frac {dy}{d\theta}=-\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\frac{\sin\theta}{(1-\cos\theta)^2},$$ una parcela de la que está de acuerdo con que la de Jean-Claude Arbaut la respuesta.

Suponiendo que este sea el caso, a continuación, retrospectivamente parece que

$$\text{sgn}(\sin\theta) = \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}.$$

Interesante.

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Por curiosidad, vamos a $\theta= \arcsin x$. Entonces

$$\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\frac{x}{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \sqrt{\sqrt{1-x^2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\mid x\mid}=\text{sgn}(x) .$$