Así que tengo esta definición de Kadec norma
$\textbf{Definition:}$ Deje $(X,\|\|)$ ser un espacio de Banach. La norma $\|\|$ se dice que es un Kadec norma si $x_n \xrightarrow{w} \bar{x}$ e $\|x_n\|\to \|\bar{x}\|$ implica $x_n\to \bar{x}.$
Me preguntaba ¿por qué es necesario en esta definición, $X$ a ser un espacio de Banach. Yo, sin embargo, que no es en absoluto, y que, a continuación, la condición implicaría que $X$ es de Banach. Pero yo no era capaz de demostrar esa afirmación. Los pensamientos?
Respuestas
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No hay necesidad de $X$ a ser un espacio de Banach. Por ejemplo, en Megginson es Una introducción al espacio de Banach teoría, la Kadets-Klee propiedad es definida por la normativa de espacios (Definición 2.5.26, pg. 220). La misma página también proporciona ejemplos de espacios de Banach que tiene el Kadets-Klee propiedad:
Por un Teorema de Kadets (1959) que se menciona sin prueba al final de esta página, cada seperable normativa del espacio tiene un equivalente localmente uniformemente rotunda norma. Un teorema por Vyborny (1956) afirma que localmente uniformemente rotunda espacios tienen la Kadets-Klee propiedad (ver Teorema 5.3.7, pg. 463 en el mismo libro). La combinación de estos dos teoremas, usted tiene que cada seperable normativa del espacio tiene un equivalente Kadets norma.
Ralph Shillington
Puntos
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No estoy seguro si entiendo tu pregunta - ¿está usted preguntando si la definición tiene sentido que la normativa de los espacios? Sin duda lo hace. La verdadera pregunta es ¿qué vas a hacer con él?
Creo que es poco probable que va a implicar la integridad como la condición menciona sólo las secuencias que ya tienen una débil límite, así que cualquier subespacio debe heredar esta propiedad.
