Demostrar que una transformación de la identidad functor de un Grupo de $G$ (visto como una categoría) en sí mismo es sólo un elemento del centro de $G$

Question

Yo quiero probar de la siguiente manera:

Supongamos $G$ es un grupo visto como una categoría, demostrar que una transformación de la identidad functor de $G$ en sí mismo es sólo un elemento del centro de $G$.

No estoy seguro de si lo estoy haciendo bien esto y creo que estoy atrapado, ¿me pueden ayudar a comprobar? Las correcciones son bienvenidos!

-Lo que he hecho:

La clase de objetos de $\mathcal{G}$ (denotado por $\mathcal{A}(G)$) es tener un solo objeto: $\{*\}$. Así, la transformación de la identidad functor de $\mathcal{G}$ en sí mismo es una clase de morfismos $\alpha_{*}:*\to *$ $\in\mathcal{G}$ tal que $\forall g:*\to*$ la siguiente plaza de viajes:

$$\begin{array}{ccc} * & \stackrel{\alpha_{*}}{\longrightarrow} & * \\ \downarrow{g} & & \downarrow{g} \\ * & \stackrel{\alpha_{*}}{\longrightarrow} & * \end{array}$$

es decir,$g\circ\alpha_{*}=\alpha_{*}\circ g$. (Aquí estoy atascado!)

P. S. El centro de un grupo de $G$ es $Z(G)=\{x\in G | gx=xg\quad\forall g\in G\}$.

Answer 1

Así que está casi hecho... Vamos a $x = \alpha_* : * \to *$, por definición, $x$ es un elemento de $G$ ($\hom_\mathcal{G}(*,*) = G$ por definición). También por definición, la composición de morfismos $* \to *$ es el producto de los elementos de $G$, por lo que la condición de $\alpha_* \circ g = g \circ \alpha_*$ que usted ha escrito significa que $xg = gx$, y esto es para todos los $g \in G$. Así que, por definición, $x$ está en el centro de la $G$, ya que conmutan con todos los elementos de $G$.

Answer 2

Más generalmente, si $f,g : G \to H$ son dos monoid homomorphisms, considerado como functors entre categorías de objetos, una transformación natural $f \to g$ es sólo un elemento $h \in H$ tal que $h * f(x)=g(x) * h$ para todos los $x \in G$. Solo mira esto:

$$\begin{array}{cc} f(\star) & \xrightarrow{h} & g(\star) \\ {\scriptsize f(x)}\downarrow ~~~~&& ~~~~\downarrow {\scriptsize g(x)}\\ f(\star) & \xrightarrow{h} & g(\star) \end{array}$$