Por subbing $x=\arctan u$ e $y=\arctan t$ en el deseo de identidad, vemos que acredite la tangente de la identidad es equivalente a probar que
$$\arctan u+\arctan t=\arctan\left(\frac{u+t}{1-ut}\right)+(0,~ \pi,~ or~-\pi)$$
Esto es cierto si ambos lados son iguales para un determinado $u$ en cada intervalo de tiempo donde ambos lados son continuas y si, por cualquier $t$, la derivada de ambos lados con respecto a $u$ es igual para todos los $u$. Esta primera condición puede ser verificado por tomar el límite de $u\to 1/t$; el LHS es $\pm \pi/2$, como es el RHS (aunque el signo será diferente para el derecho y zurdo de los límites). Esto también se ocupa con el salto de discontinuidad en la RHS.
Para comprobar la derivada de la condición, podemos utilizar la integral dada identidad a encontrar que
$$\frac{d}{du}(\arctan u+\arctan t)=\frac{1}{1+u^2}$$
y
$$\frac{d}{du}\arctan\left(\frac{u+t}{1-ut}\right)=\frac{1
+t^2}{(1-ut)^2+(u+t)^2}$$
Ahora, usando el viejo y simple álgebra,
$$\frac{1}{1+u^2}=\frac{1
+t^2}{(1-ut)^2+(u+t)^2}$$
$$\Longleftrightarrow$$
$$(1+u^2)(1+t^2)=(1-ut)^2+(u+t)^2$$
que puede ser verificada por la expansión de ambos lados. Por lo tanto los derivados de ambos lados son iguales y por las declaraciones anteriores, hemos terminado.
