Calvin tiene que cruzar varias señales cuando va de su casa al la escuela. Cada una de estas señales funciona de forma independiente. Alternan cada 80 segundos entre luz verde y luz roja.En cada señal En cada señal, hay un contador que le dice cuánto tiempo pasará antes de que la luz de la señal actual cambie. que la luz de la señal actual cambie. Calvin tiene una varita mágica que le permite cambiar una señal de rojo a verde instantáneamente. Sin embargo, esta Sin embargo, esta varita tiene una duración limitada de la batería, por lo que sólo puede utilizarla un número determinado de veces. número determinado de veces.
Si el número total de señales es 2 y Calvin puede usar su varita mágica varita mágica sólo una vez, ¿cuál es el tiempo de espera esperado en las señales cuando Calvin camina de forma óptima desde su casa a la escuela?
Estaba convencido de que tenía la solución correcta, pero al parecer no la tenía, pero no veo qué hay de malo en mi razonamiento.
Mi solución es la siguiente: Cada luz, $Y_1$ y $Y_2$ tienen tiempos de espera uniformemente distribuidos en $[0, 80]$ . Básicamente, tiene que tomar una decisión en el primer semáforo. En el segundo semáforo, siempre utiliza la varilla si está disponible. Supongo que tiene que elegir un tiempo de espera óptimo $x \in [0, 80]$ a la primera luz, de manera que si $Y_1 > x$ usa la varita. En ese caso, el tiempo de espera en la primera luz se convierte en $0$ .
Utilizando este razonamiento, el tiempo total esperado es $$ \mathbb E[Y_1 1_{\lbrace Y_1 \leq x \rbrace} + Y_2 1_{\lbrace Y_1 > x \rbrace}] = \\ \mathbb E[Y_1 1_{\lbrace Y_1 \leq x \rbrace}] + \mathbb E[Y_2]\mathbb P(Y_1 > x ) $$ Esto se convierte en $$ \int^x_0 \frac{1}{80}u du + 40 \frac{80-x}{80} = \frac{1}{2} \left(\frac{x^2}{80} + 80 -x \right) $$ A continuación, diferenciando, poniendo a $0$ , resolviendo para $x$ y al conectarlo de nuevo a la expectativa me da $30$ como respuesta. Me han dicho que esto es incorrecto.
¿Dónde está el error?
