Dejamos $\mathcal{B} = \{\alpha_1, ... \alpha_n\}$ ser una base para $V$, un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. A continuación, definimos $f_i(v) := \langle v, \alpha_i \rangle$.
Mostrar que $f_1, ..., f_n$ es una base para $V^{\star}$ el espacio dual de $V$.
Se trata de una pregunta en un examen acabo de terminar, yo honestamente no tenía idea de cómo hacerlo, aquí está mi trabajo relevantes:
Sé que si $f_1, ..., f_n$ son independientes, que son la base desde $\dim(V^{\star}) = \dim(V) = n$ porque son finito dimensionales. Así que me tienen que demostrar que son independientes, esto es donde yo estoy totalmente perdido.
Puedo demostrar que si $\mathcal{B}$ es ortogonal entonces son linealmente independientes, ya que si $c_1f_1 + ... + c_nf_n = 0$ implica que debemos tener $(c_1f_1 + ... + c_nf_n)(\alpha_i) = 0$ por cada $\alpha_i$ y desde el $\alpha_i$ son ortogonales, a continuación, para cada una de las $i$ esto se convierte en: $c_i \langle \alpha_i, \alpha_i \rangle = 0$ pero $\langle \alpha_i, \alpha_i \rangle \neq 0$ desde $\alpha_i \neq 0$ y, por tanto, $c_i = 0$ para todos los $i$.
Ahora me pregunto ¿hay una manera de generalizar un enfoque como este para demostrar a las preguntas aquí planteadas, o soy yo que va sobre esta completamente equivocado? Si el segundo es el caso, ¿cómo debería haber ido acerca de cómo resolver este problema?
Gracias,