4 votos

Una base para el espacio dual de $V$

Dejamos $\mathcal{B} = \{\alpha_1, ... \alpha_n\}$ ser una base para $V$, un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. A continuación, definimos $f_i(v) := \langle v, \alpha_i \rangle$.

Mostrar que $f_1, ..., f_n$ es una base para $V^{\star}$ el espacio dual de $V$.

Se trata de una pregunta en un examen acabo de terminar, yo honestamente no tenía idea de cómo hacerlo, aquí está mi trabajo relevantes:

Sé que si $f_1, ..., f_n$ son independientes, que son la base desde $\dim(V^{\star}) = \dim(V) = n$ porque son finito dimensionales. Así que me tienen que demostrar que son independientes, esto es donde yo estoy totalmente perdido.

Puedo demostrar que si $\mathcal{B}$ es ortogonal entonces son linealmente independientes, ya que si $c_1f_1 + ... + c_nf_n = 0$ implica que debemos tener $(c_1f_1 + ... + c_nf_n)(\alpha_i) = 0$ por cada $\alpha_i$ y desde el $\alpha_i$ son ortogonales, a continuación, para cada una de las $i$ esto se convierte en: $c_i \langle \alpha_i, \alpha_i \rangle = 0$ pero $\langle \alpha_i, \alpha_i \rangle \neq 0$ desde $\alpha_i \neq 0$ y, por tanto, $c_i = 0$ para todos los $i$.

Ahora me pregunto ¿hay una manera de generalizar un enfoque como este para demostrar a las preguntas aquí planteadas, o soy yo que va sobre esta completamente equivocado? Si el segundo es el caso, ¿cómo debería haber ido acerca de cómo resolver este problema?

Gracias,

5voto

dubek Puntos 2815

Supongamos que el $f_i$ son dependientes, por lo $\sum_i c_i f_i = 0$ para algunos escalares $c_i$. ¿Qué significa para un elemento de $V^*$ a ser cero? Así, estos elementos están definidos para ser funcionales lineales en $V$ y una función es igual a cero si se toma el valor de cero en todas partes en su dominio. Así que para todos los $v\in V$ hemos \[ 0 = \left(\sum_i c_i f_i\right)(v) = \sum_i c_i f_i(v) = \sum_i c_i\langle v,\alpha_i\rangle = \left\langle v,\sum_ic_i\alpha_i\right\rangle, \] donde la primera ecuación es la definición de una función es cero, la segunda es la definición del espacio vectorial de las operaciones en $V^*$, la tercera es la definición de $f_i$, y el cuarto es la linealidad de $\langle\cdot,\cdot\rangle$ en la segunda coordenada.

En particular, podemos tomar $v = \sum_i c_i\alpha_i$, por lo que obtenemos $\left\langle \sum_i c_i\alpha_i,\sum_i c_i\alpha_i\right\rangle=0$. El positivo de la certeza de la propiedad de un producto interior dice que la única $v$ con $\langle v,v\rangle=0$ es $v=0$, lo $\sum_i c_i\alpha_i = 0$.

Por supuesto, $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ es una base para $V$, por lo que es linealmente independiente. Por lo tanto, $\sum_i c_i\alpha_i=0$ implica $c_i = 0$ para todos los $i$.

Desde que empezamos con la suposición de que $\sum c_i f_i = 0$ y terminó con $c_i = 0$ para todos los $i$, hemos demostrado que el conjunto de $\{f_1,\ldots,f_n\}$ es linealmente independiente. Como usted sabe,$\dim(V) = \dim(V^*) = n$, esto significa que $\{f_1,\ldots,f_n\}$ es una base para $V^*$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X