Si $f(c) = f(a)$ la afirmación es obvia, por lo que asumir wlog $f(c) > f(a)$ (más reemplace $f$ con $-f$). Definimos la nueva función $g(x) = (f(x) - f(a))\exp\Big({-}\frac{x}{b - a}\Big)$. $g$ es diferenciable con $g'(x) = \exp\Big({-}\frac{x}{b - a}\Big) \left(f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{b - a}\right)$, tan sólo tenemos que demostrar que $g'$ tiene una raíz en el intervalo de $(a, b)$.
Ahora observar que $g(a) = 0$, $g(c) > 0$, así que hay un $c' \in (a, c)$ con $g'(c') > 0$. Pero $g'(c) < 0$, de modo que por el teorema del valor intermedio nos podemos encontrar en una $c'' \in (c', c)$ con $g'(c'') = 0$, que resuelve nuestro problema.
Tenga en cuenta que esta prueba simula la prueba de Grönwall la desigualdad.