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Existe $u\in(a,b)$ tal que $f'(u)=\frac{f(u)-f(a)}{b-a}$

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

P: Si $f'(x)$ es una función continua y $f'(c)=0$(para algunos $c\in (a,b)$) entonces existe $u\in(a,b)$ tal forma que: $$f'(u)=\frac{f(u)-f(a)}{b-a}$$

Yo intente usar MVT, pero.....

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Dominik Puntos 7739

Si $f(c) = f(a)$ la afirmación es obvia, por lo que asumir wlog $f(c) > f(a)$ (más reemplace $f$ con $-f$). Definimos la nueva función $g(x) = (f(x) - f(a))\exp\Big({-}\frac{x}{b - a}\Big)$. $g$ es diferenciable con $g'(x) = \exp\Big({-}\frac{x}{b - a}\Big) \left(f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{b - a}\right)$, tan sólo tenemos que demostrar que $g'$ tiene una raíz en el intervalo de $(a, b)$.

Ahora observar que $g(a) = 0$, $g(c) > 0$, así que hay un $c' \in (a, c)$ con $g'(c') > 0$. Pero $g'(c) < 0$, de modo que por el teorema del valor intermedio nos podemos encontrar en una $c'' \in (c', c)$ con $g'(c'') = 0$, que resuelve nuestro problema.

Tenga en cuenta que esta prueba simula la prueba de Grönwall la desigualdad.

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