¿Qué hacen los elementos de la esfera $\mathbb{Z}_2[x]/(x^4+x+1)$ parece? ¿Cuál es su orden?

Question

Antecedentes: estoy mirando los viejos exámenes de álgebra abstracta. El factor de anillo descrito fue descrito en una pregunta y me gustaría que se entienda mejor.

Pregunta: Vamos A $F = \mathbb{Z}_2[x]/(x^4+x+1)$. Como el polinomio $x^4+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$, sabemos que $F$ es un campo. Pero ¿a qué se parece? Por que me estoy preguntando si existe alguna isomorfismo de $F$ en un conocido campo (o de donde es sencillo para representar los elementos) y sobre el orden de $F$.

Además: ¿hay algo que podemos decir en general sobre el orden de los campos del tipo $\mathbb{Z}_2[x]/p(x)$ (con $p(x)$ siendo irreductible en $\mathbb{Z}_2[x]$)?

Answer 1

Los elementos de $F$ se $\{ f(x) + (x^4 + x + 1) \mid f(x) \in \mathbb{Z}_2[x], \deg f < 4 \}$. Hay $2^4$ de ellos. Cualquier campo de la orden de $2^4$ es isomorfo a $F$.

En general, si $p(x) \in \mathbb{Z}_2[x]$ es irreducible de grado $k$,, a continuación, $\mathbb{Z}_2[x]/(p(x))$ es un campo de orden de $2^k$.

Hay una nota que hace de este campo más conveniente para trabajar. Deje $\alpha = x + (x^4 + x + 1) \in F$. A continuación, para $f(x) \in \mathbb{Z}_2[x]$, $f(\alpha) = f(x) + (x^4 + x + 1)$. Así, por ejemplo, podemos escribir el elemento $x^2 + 1 + (x^4 + x + 1)$ as $\alpha^2 + 1$. En esta notación,

$$F = \{ f(\alpha) \mid f(x) \in \mathbb{Z}_2[x], \deg f < 4 \}.$$

Una isomorfo campo es el nimber campo de nimbers menos de 16. La representación de los elementos es más simple, pero me estoy encontrando nim-multiplicación a ser más difícil que el polinomio de multiplicación (tal vez hay un truco para que no lo sé).

Answer 2

En este anillo, $x^4+x+1 = 0$, o, equivalentemente,$x^4=x+1$. Por lo $F=\{ax^3+bx^2+cx+d \mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}_2\}$. Cualquier poder superior puede ser reducido utilizando $x^4=x+1$. Tenga en cuenta que esto significa que este campo es isomorfo al campo finito de 16 elementos.

Answer 3

Que estaban pidiendo para otros campos que son isomorfos a $F=\Bbb{Z}_2[x]/\langle x^4+x+1\rangle=\Bbb{Z}_2[\alpha]$ con $\alpha=x+\langle x^4+x+1\rangle$. Me ofrecen uno de esos. Desafortunadamente no es fácil generalizar a todos los campos finitos. Por lo tanto es un poco ad hoc.

Consideremos el anillo de $R=\Bbb{Z}[\zeta]$ donde $\zeta=e^{2\pi i/5}$ es una primitiva de la quinta raíz de la unidad. En $\Bbb{Z}_2[x]$ hemos $$ x^{12}+x^9+x^6+x^3+1=(x^4+x+1)(x^8+x^4+x^2+x+1). $$ Por lo tanto, el elemento $\beta=\alpha^3\in F$ satisface la ecuación $\beta^4+\beta^3+\beta^2+\beta+1$. Como esto coincide con el polinomio mínimo de $\zeta$ existe un homomorphism de los anillos de $f:R\to F$ determinado por $f(\zeta)=\beta$.

Este homomorphism es surjective. Una manera de ver la que sigue a partir del cálculo $$ \begin{aligned} \alpha&=\alpha\cdot(1+0)^2=\alpha\cdot(1+1+\alpha+\alpha^4)^2\\ &=\alpha\cdot(\alpha+\alpha^4)^2=\alpha\cdot(\alpha^2+\alpha^8)\\ &=\alpha^3+\alpha^9=\beta+\beta^3. \end{aligned} $$ ¿Qué acerca de la $\ker f$? Claramente $2R\subseteq \ker f$. Debido a $R$ es un servicio gratuito de abelian grupo de clasificación de cuatro, sabemos que $|R/2R|=2^4=16$. Esto obliga a $2R=\ker f$.

Conclusión: $$ F\cong R/2R=\Bbb{Z}[\zeta]/\langle 2\rangle. $$