Definición de módulos Verma

Question

Tengo una pregunta sobre definiciones diferentes (¿pero equivalentes?) de los módulos de Verma de álgebras de Lie semisimples:

Sea F un campo y denotemos lo siguiente:

• $\mathfrak{g}$ un álgebra de Lie semisimple sobre F, con álgebra universal envolvente $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ .
• $\mathfrak{b}$ una subálgebra de Borel de $\mathfrak{g}$ con álgebra universal envolvente $\mathcal{U}(\mathfrak{b})$ .
• $\mathfrak{h}$ una subálgebra de Cartan de $\mathfrak{g}$ .
• $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ un peso fijo.

1.Definición (de Wikipedia)

Sea $F_\lambda$ el espacio vectorial unidimensional F (es decir, cuyo conjunto subyacente es el propio F) junto con un $\mathfrak{b}$ -tal que $\mathfrak{h}$ actúa como multiplicación por $\lambda$ y los espacios de raíces positivas actúan trivialmente. Como $F_\lambda$ es una izquierda $\mathfrak{b}$ -es, por tanto, un módulo de izquierda $\mathcal{U}(\mathfrak{b})$ -módulo. Usando el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, hay una derecha natural $\mathcal{U}(\mathfrak{b})$ -sobre $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ por multiplicación por la derecha de una subálgebra. $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ es naturalmente una izquierda $\mathfrak{g}$ -y, junto con esta estructura, es un $(\mathfrak{g}, \mathcal{U}(\mathfrak{b}))$ -bimódulo.

Ahora podemos definir el módulo de Verma (con respecto a $\lambda$ ) como

$$M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda$$

que es naturalmente una izquierda $\mathfrak{g}$ -(es decir, una representación de dimensión infinita de $\mathfrak{g})$ .

2.Definición

Sea $R^+$ el conjunto de raíces positivas y $g_\alpha$ el espacio raíz a $\alpha \in R^+$ . Sea $I_\lambda$ el ideal izquierdo de $U(g)$ que se genera a partir de todos los $X \in g_\alpha$ para algunos $\alpha \in R^+$ y de todos $H-\lambda(H)$ con $H\in \mathfrak{h}$ .

Definimos ahora el módulo de Verma

$$V_\lambda=\mathcal{U}(\mathfrak{g})/I_\lambda$$

Mi pregunta ahora es, ¿por qué estas definiciones son equivalentes? He intentado bastante, pero no estoy muy familiarizado con esto y no sé muy bien cómo proceder. ¿Tienes alguna pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Construir la izquierda $\mathfrak{g}$ -homomorfismo de módulo $$\begin{align} \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \quad &\to \quad \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_{\lambda} \\ U \quad &\mapsto \quad U \otimes 1_{\lambda}. \end{align}$$ Verificar que es suryectiva y que el núcleo es $I_{\lambda}$ .

Answer 2

Pista: Desde $F_{\lambda}$ tiene un único generador, es isomorfo como $\mathcal{U}(\mathfrak b)$ módulo a $\mathcal{U}(\mathfrak b)/I_{\lambda}$ para algún ideal $I_{\lambda}$ .