Es $A = \{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} = x \in l \ ^ 2: \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| < \infty \} $ abierto? cerrado?

Question

Deje $l \ ^ 2 = \{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} = x \in R \ ^ N : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| \ ^ 2 < \infty \}$

Definir $||x||_2 = ( \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| \ ^2 ) \ ^ {1/2} $

Me han demostrado que $(l \ ^ 2 , \|\ \|_2) $ realizar una norma en el espacio.

La pregunta es:

Deje $$A = \bigg\{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} = x \in l \ ^ 2: \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| < \infty \bigg\} $$

Es $A$ abierto ? cerrado? tanto? ninguno?

Mi intento de mostrar Una no está cerrado es tomar

$a_n = \bigg\{\dfrac{1}{k \ ^{1 + 1/n}} \bigg\}_{k=1}^{\infty}$ , y para mostrar que $a_n \to 1/k $ que no pertenecen a A.

Pero, necesito mostrar que $d(a_n , \{1/k\}_{k=1}^{\infty}) \to 0 $

y no estoy seguro de cómo hacerlo.

$d(a_n,a) = ||a_n-a||_2 = \bigg\|\{ \dfrac{1}{k} (\dfrac{1}{k ^{1/n} }-1 ) \}_{k=1}^{\infty}\bigg\|_2$

Si im derecha hasta el momento, y es, de hecho, no se cierra, no estoy seguro de cómo continuar.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Primero escribió: $$d(a_n,a) = ||a_n-a||_2 = \bigg\|\dfrac{1}{k} (\dfrac{1}{k ^{1/n} -1} )\bigg\|_2$$

Pero la última ecuación no es cierto: $||a_n-a||_2$ es la diferencia de las dos secuencias, sino $\dfrac{1}{k} (\dfrac{1}{k ^{1/n} -1} )$ es (por cierto, su conversión aquí también está mal) es la diferencia de dos elementos de las secuencias de algo completamente diferente.

Pero bueno, tenemos que mostrar: $||a_n-a||_2 \to 0$, vamos a empezar con un simple cálculo:

$$\begin{align*}||a_n-a||_2 &= \sum_{k=1}^{\infty} |a_n^k - a^k|^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \left|\dfrac{1}{k \ ^{1 + 1/n}} - \frac{1}{k}\right|^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{1}{k}\left(\dfrac{1}{k^{1/n}} - 1\right)\right|^2 \\&= \sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{1}{k}\right|^2 \left|\left(\dfrac{1}{k^{1/n}} - 1\right)\right|^2 \end{align*}$$

Pero tenemos $$\left|\left(\dfrac{1}{k^{1/n}} - 1\right)\right|^2 \le 1$$ so $$||a_n-a||_2 \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \infty$$

Así que podemos utilizar el teorema de convergencia dominada y el intercambio de límite y la suma para obtener:

$$\begin{align*}\lim_{n\to\infty} ||a_n-a||_2 &= \lim_{n\to\infty} ||a_n-a||_2 \\ &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \left|\dfrac{1}{k \ ^{1 + 1/n}} - \frac{1}{k}\right|^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{1}{k \ ^{1 + 1/n}} - \frac{1}{k}\right|^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} 0 = 0 \end{align*}$$