radio de convergencia para $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n} n^{n}}{n!}$ y $\sum_{n=1}^{\infty} z^{n!}$

Question

El ejercicio 4:10 del texto de John D'Angelo consiste en hallar el radio de convergencia de :

A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n n^n}{n!}$ y

B) $\sum_{n=1}^\infty z^{n!}$

Tengo media respuesta para A) que quería comprobar y me he atascado totalmente en B). Gracias por la ayuda.

Sé por el Teorema de la sección que $\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{\frac{1}{n}}$ où $R$ es el radio de convergencia. Entonces,

para A:

$$\frac{1}{R} = \frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}}\text{ so }\frac{1}{R} = \limsup \frac{n!^\left({\frac{1}{n}}\right)}{n}$$ que creo que es $0$ pero no estoy seguro. Dudo que esto sea correcto porque eso significaría que el radio de convergencia es $\infty$ lo que parece erróneo.

para B:

$z^{n!} = z^{(n \times(n-1)!)}$ pero no se como eliminar el $(n-1)!$ por lo que I pueda tener un $z^{n}$ para poder utilizar el teorema anterior sobre $R$ .

Gracias de nuevo. Oh, sé que lo pregunté antes pero si alguien sabe de un manual de soluciones para este texto, se lo agradecería. No soy estudiante así que no intento hacer trampas en los deberes sino más bien sólo intento entender lo básico.

Answer 1

Para A), prueba la prueba de la proporción: ${1 \over R} = \lim_n | {a_{n+1} \over a_n } | = \lim_n { (n+1)^{n+1} \over (n+1)!} { n! \over n^n } = \lim_n (1+ {1 \over n})^n = e$ .

Para B), podría ser más fácil calcular $\limsup_n \sqrt[n]{|z|^{n!}} = \limsup_n |z|^{(n-1)!}$ . Para $|z|<1$ es cero, para $|z|>1$ esto es infinito.

Answer 2

Prueba alternativa para (B): como $$\sum_{n=1}^N |z|^{n!}\le\sum_{n=1}^{N!} |z|^n,$$ el radio de convergencia es $\ge 1$ . Pero $$\sum_{n=1}^\infty 1^{n!}$$ diverge, por lo que el radio es $=1$ .

Answer 3

Respecto al problema A:

Ponga $$a_n = \frac{n^n}{n!}$$ Por el criterio de Cauchy D'Alembert tenemos

$$\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=e\\\iff R=\frac{1}{e}.$$

En cuanto al problema B:

Ponga $$b_n=z^{n!}.$$ Entonces $$\sqrt[n]{b_n}=|z|^{n!/n}$$ que converge a $\infty$ si $|z|>1$ y a $0$ si $|z|<1$ . Por tanto, el radio de convergencia es $1$ .