Considere la posibilidad de la acción de la $S_n$ a $\mathbb{C^n}$ da por: $$\sigma(x_1, x_2, \cdots,x_n) = (x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots,x_{\sigma(n)}).$$
¿Cuál es el cociente del espacio de $\mathbb{C^n}$ obtenido por la acción de la $S_n$?
He considerado que el caso de $n =2$ y trató de pensar en el problema geométricamente, pero yo no entiendo mucho.
En este caso clases de equivalencia parecerse a $\{(x_1,x_2),(x_2,x_1)\}$ porque la acción es por $S_2$
El cociente es en realidad $\mathbb{C}^n$ de hecho. Esto es realmente una expresión algebraica corolario y la intuición geométrica aquí no sería de mucha ayuda, sobre todo porque estamos hablando de la homeomorphism tipo de cociente, por lo que tenemos mucha flexibilidad.
El asunto es que estamos en el complejo espacio, donde la hyperplane de una reflexión ha topológico de codimension 2, por lo que el cociente de no crear límites... (la acción de $S_2$ a $\mathbb{C}^2$ es equivalente a la acción $x\rightarrow -x$ a $\mathbb{C}$, el cociente de los cuales es homeomórficos a $\mathbb{C}$ en el mismo camino de $\mathbb{R}P^1$ es homeomórficos a $S^1$ (el círculo).
Permítanme dar una descripción del cociente y tratan de convencer de que es $\mathbb{C}^n$, y luego vamos a hablar sobre el álgebra detrás de esto:
Considerar el mapa de $$\begin{alignat*}{1} f:\mathbb{C}^n&\longrightarrow \mathbb{C}^n \\ (x_1,x_2,\cdots,x_n) &\longrightarrow \big( e_1({\bf x}),\cdots,e_n({\bf x})\big) \end{alignat*}$$ donde ${\bf x}=(x_1,\cdots,x_n)$ e $e_i$ es el $i^{\text{th}}$ primaria simétrica polinomio en $n$ variables.
Ahora, $f$ es claramente continua, así que si puedo convencerlo de que la preimages $f^{-1}({\bf z})$ son exactamente las órbitas $S_n\cdot {\bf x}$, entonces usted debe creer que me $\mathbb{C}^n$ es de hecho (homeomórficos a) la topológico cociente $S_n\backslash \mathbb{C}^n$.
¿Cuál es la preimagen $f^{-1}({\bf z})$? Si contiene un elemento ${\bf x}$, contiene al menos los ${\bf x'}$'s que están en la órbita $S_n\cdot {\bf x}$ (debido a que los polinomios $e_i$ son simétricas, cada elemento de la órbita $S_n\cdot {\bf x}$ debe tener la misma imagen en $f$...). Es más difícil mostrar que cada una de las $f^{-1}({\bf z})$ contiene exactamente una órbita a pesar de que:
Considere dos diferentes órbitas $S_n\cdot {\bf x}$ e $S_n\cdot {\bf y}$ y elegir un polinomio $\theta\in \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$ tal que $\theta({\bf x})=0$ pero $\theta({\bf w})\neq 0$ para todos los ${\bf w}\in S_n\cdot {\bf y}$. Ahora consideremos el polinomio $$\overline{\theta}({\bf w})=\prod_{g\in S_n}\theta(g\cdot{\bf w})$$
Por definición, $\overline{\theta}$ es $S_n$invariante en el polinomio que separa a ${\bf x}$ e ${\bf y}$ (es decir, se toma diferentes valores en ellos). Ahora, el teorema fundamental de los polinomios Simétricos (véase también el Teorema 1 abajo) nos dice que $\overline{\theta}$ puede ser escrito como un polinomio en el $e_i$'s. En particular, no todos los $e_i$'s pueden ponerse de acuerdo en ${\bf x}$ e ${\bf y}$ o $\overline{\theta}$ debe estar de acuerdo también. Esto significa que ${\bf x}$ e ${\bf y}$ no puede estar en el mismo preimagen $f^{-1}({\bf z})$ para algunos ${\bf z}\in \mathbb{C}^n$.
Hay una última cosa a comprobar; es decir, ¿cómo sabemos que por cada punto de ${\bf z}\in \mathbb{C}^n$, las ecuaciones $e_i({\bf x})=z_i$ tienen una solución común? Esto es debido a la primaria simétrica funciones son exactamente $n$-muchos, y algebraicamente independientes (véase también el Teorema 2, a continuación). Esto implica que el sistema de $e_i({\bf x})=z_i$ define un $(n-n=)\ 0$-dimensiones de la variedad, lo que es, un vacío, conjunto finito de puntos. Por lo tanto, cada punto de ${\bf z}\in \mathbb{C}^n$ tiene una preimagen $f^{-1}({\bf z})$ (que tiene cardinalidad igual a $n!=|S_n|$ en el caso genérico).
De esta manera, el espacio afín $\mathbb{C}^n$ se dio cuenta de como el cociente $S_n\backslash \mathbb{C}^n$.
Esta discusión se generaliza a todos los finitos (complejidad) de los grupos de reflexión. La identificación entre preimages $f^{-1}({\bf z})$ y órbitas $G\cdot {\bf x}$ (en realidad esta parte se cumple para cualquier finito grupo $G$ actúa linealmente en $V$) se da en el Capítulo 13 de Eisenbud (muy hermoso) libro de Álgebra Conmutativa, con miras a la geometría algebraica. Algunos de los resto de los argumentos son codificados en los dos teoremas siguientes:
Teorema 1 (teoría de Invariantes) Si un grupo finito $G$ actúa sobre un polinomio de álgebra $\mathbb{C}[V]:=\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$, entonces el subalgebra $\mathbb{C}[V]^{G}$ es generado por un número finito de polinomios $f_1,f_2,\cdots, f_m$ (que puede, sin embargo, no se algebraicamente independientes).
Teorema 2 (Chevalley-Shephard-Todd teorema) En el caso (y sólo entonces) que $G$ actúa como un finito () (complejo) grupo de reflexión, el invariante subalgebra $\mathbb{C}[V]^{G}$ es en realidad un polinomio subalgebra. Es decir, el $f_i$'s son algebraicamente independientes.
La razón por la que estos polinomios invariantes aparecen un montón es algebro-geométrica: Esos son los mejores candidatos para el anillo de coordenadas del cociente $G\backslash V$ (si eso fuera a hacer en una variedad). En el caso de un grupo finito $G$ actúa linealmente en $V$, esto ocurre y es la introducción a los Geométricas Invariantes de la Teoría.
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