Una Casa De Rotación De La Matriz Identidad

Question

Deje $\mathbf{R}_i$ ser $N$ rotación de las matrices que representan una rotación alrededor de ejes $\mathbf{\omega}_i$ por un ángulo de $|\mathbf{\omega}_i|$. Dicen ahora que sabemos que el producto de estas matrices es la unidad, es decir: $$\prod_{i=1}^N \mathbf{R}_i = \mathbf{R}_1\mathbf{R}_2\mathbf{R}_3 \ldots \mathbf{R}_N = \mathbf{I}$$

Un papel estoy leyendo un libro de reclamaciones, que a una "primera aproximación" y "la omisión de los detalles de" el siguiente es cierto: $$\mathbf{\omega}_1 +\mathbf{R}_1\mathbf{\omega}_2 +\mathbf{R}_1\mathbf{R}_2\mathbf{\omega}_3 +\mathbf{R}_1\mathbf{R}_2\mathbf{R}_3\mathbf{\omega}dimm_4 + \ldots +\prod_{i=1}^{N-1}\mathbf{R}_i{\omega}_N = \mathbf{0} \etiqueta{**}$$

Ahora sé que, por definición, $\mathbf{R}_i\mathbf{\omega}_i =\mathbf{\omega}_i$, y que se puede expandir $\mathbf{R}_i$ en potencias de $\mathbf{\omega}_i$: $$\mathbf{R}_i\ = \exp([\mathbf{\omega}_i]_\times) \approx\mathbf{I}+[\mathbf{\omega}_i]_\times+ \frac{1}{2!}[\mathbf{\omega}_i]^2_\times +\ldots$$ Pero aún no termino de ver cómo se puede derivar $(**)$. Alguna idea?

Answer 1

Supongamos que todas las $|\omega_i|<h$, entonces podemos probar inductivamente que la fórmula (**) sostiene que a fin de $h^2$.

Al $N=2$ tienes $R_1 = I+[\omega_1]_\times+O(h^2)$ y $R_2 = I-[\omega_1]_\times+O(h^2)$ para (**) se convierte en $\omega_1+R_1(-\omega_1) = 0$ a fin de $h^2$.

Supongamos inductivamente que tiene para $N-1$ factores, y mira un caso de $N$ factores $$R_1R_2\cdots R_{N-2}\big(R_{N-1}R_{N}\big) = I, \etiqueta{1}$$ donde he agrupado los últimos dos juntos; denotar el último grupo como $R'$. Por hipótesis inductiva tenemos $$\omega_1+\cdots+R_1R_2\cdots R_{N-3}R_{N-2}\omega' = 0, \etiqueta{2}$$ donde $R' = 1+[\omega']_\times+O(h^2)$. Pero $$\omega' = \omega_{N-1}+\omega_N+O(h^2)$$ porque $$R' = R_{N-1}R_N = \big(I+[\omega_{N-1}]_\veces+O(h^2)\big) \big(I+[\omega_{N}]_\veces+O(h^2)\big)$$ $$= \big(I+[\omega_{N-1}+\omega_{N}]_\veces+O(h^2)\big).$$ Por lo tanto $$\omega' = R\omega' = R_{N-1}R_N\omega' = R_{N-1}\big( I+[\omega_N]_\veces+O(h^2) \big)\big( \omega_{N-1}+\omega_N+O(h^2) \big)$$ $$= R_{N-1}(\omega_{N-1}+\omega_N)+O(h^2) = \omega_{N-1}+R_{N-1}\omega_N+O(h^2).$$ Sustituir en (2) para obtener (**) a fin de $h^2$.