Tengo una pregunta sobre $\mathbb{H}/\Gamma(N)$ que parametriza el nivel $N$ estructuras en curvas elípticas. Sea $Y(N)$ sea el conjunto de clases de isomorfismo de tales objetos, entonces, según el Hecho 2 de la página 2 de esta nota la parametrización viene dada por $$ \mathbb{H}/\Gamma(N)\rightarrow Y(N): \tau \mapsto (\mathbb{C}/\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}, \frac{1}{N},\frac{\tau}{N}). $$ Mi problema es que no veo por qué todo par de $N$ -Los puntos de torsión se realizan como en el caso anterior. ¿Qué pasa con $\mathbb{C}/\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}, \frac{N-1}{N},\frac{\tau}{N})$ ? Más concretamente, ¿cómo se puede obtener la forma canónica anterior?
Respuesta
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La pareja de $N$ -Los puntos de torsión que escribiste no se obtendrán a través de tu parametrización porque su imagen bajo el emparejamiento de Weil no es $\exp(\frac{2\pi i}{N})$ .
(Esto es parte del problema de módulos: queremos un par de puntos de torsión que se emparejen bajo el par de Weil a algo fijo. Si no insistimos en esto, el espacio de moduli está desconectado).
