Para los que se encuentran los grupos de $G$ se puede escribir $g$ como la exponencial $\exp X$ algunos $X \in {\frak g}$ por cada elemento $g \in G$?

Question

Estoy leyendo un libro sobre la matriz de álgebras de Lie (Brian Hall). Corolario 2.30. dice que si $G$ está conectado matriz de Lie del grupo, entonces cada elemento de $A$ de % de $G$ puede ser escrita en la forma

$$A=e^{X_1}e^{X_2}\ldots{}e^{X_m}$$

para algunos $X_1$,$X_2$$\ldots$$X_m$ en el álgebra de la Mentira. Immeadiately después de que se insiste en que, incluso si $G$ está conectado, no es cierto que cualquier cada elemento $A$ de % de $G$ canbe escrito

$$A=e^{X}$$

donde $X$ es una Mentira álgebra elemento. Mi formación es en la física, y, muchas veces he visto Mentira grupos escrito usando sólo una exponencial con absoluta impunidad (por ejemplo con $SU(2)$). ¿Alguien puede decirme cuando es cierto que hay algunos $X$ Mentira álgebra elemento para cada $A$ en una Mentira grupo?

Answer 1

Si $G$ es compacto y conectado, se puede demostrar (mediante la construcción de un bi-invariante de la métrica en la $G$ y relacionadas con la métrica y la Mentira grupo exponencial mapas) que el mapa exponencial $\exp : {\frak g} \to G$ es surjective. Esto justifica la reclamación, por ejemplo, $SU(2)$. Utilizando el Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula, uno puede mostrar que $\exp$ es también surjective para Mentir a los grupos que están conectados, simplemente se conecta, y nilpotent. (Ver este post en el blog de Terry Tao para más.)

Hay una condición en la Mentira grupos equivalente a surjectivity de $\exp$, es decir, la divisibilidad: Un grupo es divisible iff para cada $g \in G$ y cada una de las $k \in \Bbb Z_+$ hay algo de $h \in G$ tal que $h^k = g$. (Ver el artículo citado a continuación). La comprobación de esta condición no es necesariamente más fácil de comprobar surjectivity directamente, sin embargo.

Podemos utilizar este criterio para mostrar fácilmente que $\exp$ no es surjective para todos conectados Mentira grupos: Por ejemplo, podemos comprobar directamente que $B := \pmatrix{-1&0\\0&-2}$ no tiene raíz cuadrada de $GL(2, \Bbb R)$ (es decir, por la escritura de los componentes de $X^2 = B$ y derivar una contradicción). Por eso, $GL_+(2, \Bbb R) := \{A \in GL(2, \Bbb R) : \det A > 0\}$ no es divisible, y por lo tanto, $\exp: {\frak gl}(2, \Bbb R) \to GL_+(2, \Bbb R)$ no es surjective.

Hoffman, De Lawson. Divisible Semisubgroups de la Mentira de los Grupos. J. Londres Matemáticas. Soc. (1983) s2-27 (3): 427-434.