Geometría de los espacios métricos

Question

Estoy leyendo un libro sobre Espacios Métricos y el autor siempre está hablando de la "geometría" de algunos espacios métricos, pero no dice qué entiende por geometría.

Por ejemplo:

A pesar del hecho de que es infinito-dimensional, el siguiente ejemplo comparte muchas propiedades geométricas agradables con la recta real $\mathbb{R}$ .

$\textbf{Example}$ : $(l_\infty)$ Es el espacio cuyos elementos son todas las secuencias acotadas $(x_1,x_2,..)$ de números reales, con la distancia $d_\infty (x,y)$ entre dos secuencias de este tipo $x=(x_1,x_2,...)$ y $y=(x_1,x_2,...)$ tomado como $d_\infty (x,y)=\sup\limits_{1\leq i <\infty}|x_i-y_i|$ .

Creo que se refiere a algunos teoremas que son ciertos en ambos espacios métricos y que considera de "sabor geométrico", pero no da ningún ejemplo de tales teoremas.

¿Qué entiende el autor por "geometría" en este caso? Si estoy en lo cierto, estaría bien disponer de ejemplos de tales teoremas.

Answer 1

Creo que el ejemplo dado por el autor es un mal ejemplo para atestiguar su tesis. He aquí uno mejor: Las geometrías en el plano euclídeo y en la superficie de una esfera son ciertamente diferentes, pero comparten muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, dadas tres longitudes (suficientemente pequeñas) $a$ , $b$ , $c$ satisfaciendo la desigualdad del triángulo hay, hasta la isometría, exactamente un triángulo que tiene $a$ , $b$ , $c$ como longitudes de los lados.

Answer 2

La geometría, es decir, la "medición de la tierra", en el caso de los espacios métricos se refiere al proceso de deducir información a partir de la medición o caracterización de la distancia entre objetos en el espacio métrico dado.

Comencemos con un advertencia un espacio métrico es una estructura matemática bastante primitiva: por definición, es un conjunto dotado de una función llamada distancia (o métrica). Es más primitivo que un espacio normado o un espacio con producto escalar, ya que ambos espacios necesitan una estructura espacial lineal para definirse.

Un ejemplo: en el conocido caso de $\mathbb R^n$ el producto escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle$ induce la norma $\|\cdot\|$ que induce la distancia $d(\cdot, \cdot)$ . Las tres estructuras se utilizan mucho en los cálculos cotidianos. La topología resultante es métrica y, en particular, $\mathbb R^n$ es un espacio métrico. Aunque también podemos hablar de suma de vectores y multiplicación por escalares, como $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial.

Como ya se ha señalado, esta riqueza de estructuras es propia de los espacios "bonitos". Por el contrario, en muchas aplicaciones como el análisis de conglomerados, por ejemplo, se trabaja con conjuntos y distancias finitos.

En resumen, en el caso de un espacio métrico $(M, d)$ nos queda trabajar con la función de distancia $d$ que, por definición, nos da la idea de "estar cerca" o "estar lejos". Puede utilizarse para definir el concepto de convergencia de secuencias, para definir una topología (llamada topología métrica), que se basa en el concepto de bola abierta $$B(x;r) = \{y \in M : d(x,y) < r\}.$$

Un espacio métrico puede admitir diferentes funciones de distancia; se pueden estudiar las diferentes geomtrías inducidas por las distancias. Un buen ejemplo es la función geometría del taxi frente a la geometría euclidiana en $\mathbb R^2$ .

Answer 3

Si dos puntos cualesquiera pueden unirse por un camino en un espacio métrico, podemos establecer la noción de longitud de camino y de camino geodésico. Si queremos más, también podemos definir ángulos entre dos trayectorias. Así se puede establecer un tipo de geometría en estos espacios métricos. Los espacios métricos de este tipo se denominan espacios geodésicos métricos.