Demostrar que $\frac{1}{2\pi i}\int_\mathcal{C} |1+z+z^2+\cdots+z^{2n}|^2~dz =2n$ donde $\mathcal{C}$ es el círculo unitario

Question

En la generalización de una reciente pregunta, me han mostrado, por analítica y numérica de los medios, que

$$\frac{1}{2\pi i}\int_\mathcal{C} |1+z+z^2+\cdots+z^{2n}|^2~dz =2n$$

donde $\mathcal{C}$ es el círculo unitario. Por lo tanto, $z=e^{i\theta}$ e $dz=iz~d\theta$. Queda por demostrar, sin embargo.

Lo que he hecho: considerar el valor absoluto de la parte de el integrando,

$$ \begin{align} |1+z+z^2+\cdots+z^{2n}|^2 &=(1+z+z^2+\cdots+z^{2n})(1+z+z^2+\cdots+z^{2n})^*\\ &=(1+z+z^2+\cdots+z^{2n})(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots+z^{-2n})\\ &=(1+z+z^2+\cdots+z^{2n})(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots+z^{-2n})\frac{z^{2n}}{z^{2n}}\\ &=\left(\frac{1+z+z^2+\cdots+z^{2n}}{z^n} \right)^2\\ &=\left(\frac{1}{z^n}\cdots+\frac{1}{z}+1+z+\cdots z^n \right)^2\\ &=(1+2\cos\theta+2\cos 2\theta+\cdots+2\cos n\theta)^2\\ \end{align} $$

Ahora volvemos a la integral,

$$ \begin{align}\frac{1}{2\pi i}\int_C |1+z+z^2+\cdots z^n|^2dz &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+2\cos 2\theta+\cdots+2\cos n\theta)^2 (\cos\theta+i\sin\theta)~d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+2\cos 2\theta+\cdots+2\cos n\theta)^2 \cos\theta~d\theta \end{align}$$

se nota que la condición sine términos integrar a cero en virtud de la simetría. Aquí es donde mi problema comienza. Claramente, la expansión de la plaza se convierte en horrible como $n$ aumenta, y aunque la mayoría de los términos que se van a integrar a cero, no he sido capaz selectivamente encontrar los que no.

La otra cosa que he probado es el de simplificar el integrando por expresarlo en términos de $\cos\theta$ sólo con la identidad

$$\cos n\theta=2\cos (n-1)\theta\cos\theta-\cos(n-2)\theta$$

pero esto también se desarrolla como una expresión algebraica de la selva muy rápidamente. Hay varias otras expresiones para $\cos n\theta$, pero parece igual de inadecuado para la tarea. Voy a presentar aquí en la medida en que usted puede encontrar más ayuda que yo.

$$ \cos(nx)=\cos^n(x)\sum_{j=0,2,4}^{n\text{ o }n-1} (-1)^{n/2}\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\cot^j(x)=\text{T}_n\{\cos(x)\}\\ \cos(nx)=2^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}\cos\left(x+\frac{(1-n+2j)\pi}{2n} \right)\quad n=1,2,3,\dots $$

donde $\text{T}_n$ son los polinomios de Chebyshev. Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Primero de todos $$ \int_{|z|=1}\overline{z}\,dz=\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i, $$ desde $z\overline{z}=1$. Mientras tanto, para $k>1$ $$ \int_{|z|=1}\overline{z}^k\,dz=\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^k}=0. $$

Ahora, cuando $|z|=1$, tenemos $\overline{z}=z^{-1}$ y por lo tanto $$ |1+z+\cdots+z^{2n}|^2=(1+z+\cdots+z^{2n})(1+\overline{z}+\cdots+\overline{z}^{2n})=\sum_{j,k=0}^{2n}z^k\overline{z}^j =\sum_{j=-4n}^{4n} c_jz^j $$ En la anterior suma, el término $c_{-1}$ es igual a exactamente $2n$, y es el único término que sobrevive después de la integración a lo largo del círculo unidad. Finalmente $$ \int_{|z|=1}|1+z+\cdots+z^{2n}|^2\,dz=\int_{|z|=1}\frac{c_{-1}\,dz}{z}=2\pi i c_{-1}=2\pi i\cdot 2n. $$

Answer 2

Para $z\in\mathcal C$, tenemos $$|1+...+z^{2n}|^2 = (1+z+...+z^{2n})(1+z^{-1}+...+z^{-2n}) = \sum_{j=0}^{2n}\sum_{k=0}^{2n}z^jz^{-k} = \sum_{j=0}^{2n}\sum_{k=0}^{2n}z^{j-k}.$$

Por lo tanto, $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal C}|1+z+...+z^{2n}|^2 dz = \sum_{j=0}^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal C}z^{j-k}dz.$$

Si $j-k\neq -1$, esta integral se desvanece, por lo que sólo se han de contar los sumandos para que $j-k=-1$ y calcular el $\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathcal C}z^{-1}dz$.

Answer 3

Usted puede simplificar las cosas de la siguiente manera. Tenemos:

$$f(z) = \sum_{k=0}^{2n}z^k = \frac{z^{2n+1}-1}{z-1}$$

A continuación, en el círculo unidad, tenemos:

$$\left|f(z)\right|^2 = f(z)f^*(z) = f(z)f(z^*) = f(z)f\left(z^{-1}\right) = \frac{\left(z^{2n+1}-1\right)^2}{z^{2n}(z-1)^2}$$

La integral sobre el círculo unitario es el dado por el coeficiente de $z^{2n-1}$ de % de $\dfrac{\left(z^{2n+1}-1\right)^2}{(z-1)^2}$ que es el mismo que el coeficiente de $z^{2n-1}$ en $\dfrac{1}{(z-1)^2}$, se puede obtener esta información de la diferenciación de la serie geométrica, la cual se obtiene el resultado de $2n$.

Answer 4

$$ \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\sum_{l=0}^{2n}e^{il\theta}\sum_{m=0}^{2n}e^{-im\theta}ie^{i\theta}d\theta=\frac{1}{2\pi}\sum_{l,m=0}^{2n}\int_0^{2\pi}\exp(i\theta(l-m+1))d\theta $$

Creo que la última integral es cero, a menos $l-m+1=0$, lo que sucede en $2n$ veces al $l$ e $m$ ir entre 0 y 2n.