Verdadero o Falso: Grupo Topológico y $S^1 \vee S^1$

Question

$i.$ $S^1 \vee S^1$ se puede incrustar en un grupo topológico

$ii.$ $S^1 \vee S^1$ puede ser cubierto por un grupo topológico

Creo que $i.$ es cierto ya que podemos incrustar la suma de cuñas en $\mathbb{R}^2$, que es un grupo topológico bajo la adición.

No estoy seguro sobre $ii.$ sin embargo. Sé que un mapa de cobertura inducirá un homomorfismo inyectivo en $\pi_1$ y que $\pi_1$ es abeliano para grupos topológicos. Parece que todos los espacios de cobertura de $S^1 \vee S^1$ tienen grupos fundamentales no abelianos, excepto por la cubierta universal, pero no veo una manera obvia de poner una estructura de grupo en esa.

Answer 1

Es imposible. Un grupo topológico es localmente homogéneo: para cualquier par de puntos $p,q$ existen vecindarios $U,V$ tal que $U$ es homeomorfo a $V$. Pero ningún espacio de recubrimiento de $S^1 \vee S^1$ tiene esa propiedad, porque cualquier espacio de recubrimiento es un grafo que tiene un vértice de valencia $4$, y el único grafo localmente homogéneo es una variedad de 1.