Grupo de elementos invertibles

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo con unidad. ¿Cómo puedo demostrar que el grupo de elementos invertibles de $R$ nunca es de orden $5$ ?

Mi profesor nos dijo a mí y a mis compañeros que ese problema es muy difícil de resolver. Me gustaría que alguien me diera aunque sea una pequeña pista porque, en este momento, no tengo ni idea de cómo atacar el problema.

Answer 1

Esto es lo mismo que la respuesta de Dan, sólo que resuelto.

$R$ tiene la característica 2:

Supongamos que $R$ tiene una característica distinta de 2. Entonces para cada unidad, $u$ hay otra unidad $-u$ y si $u=-u$ entonces $2u=0$ una contradicción cuando $u$ es una unidad. Por lo tanto, el número de unidades de $R$ es infinito o par.

$R$ no contiene ningún campo grande

Supongamos que $R$ tiene la característica 2. Entonces puede contener campos de característica 2. Ninguno de estos campos puede contener trascendentes, ya que habría infinitas unidades. Ninguno de estos campos puede ser mayor que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ya que dicho campo contendría un $2^n-1$ raíz de la unidad y $2^n-1$ sólo divide $5$ cuando $n=1$ .

$R$ no contiene ninguna unidad real:

Considere $r \in R^\times$ . Entonces $r^5=1$ por lo que el subring generado por $r$ tiene 5 unidades y es isomorfo a $S=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]/(f)$ donde $f$ divide $x^5-1$ . Sin embargo, $x^5-1$ es un producto de dos irreducibles distintos, y por tanto $f$ es un producto de irreducibles distintos, por lo que (A) $f=x-1$ y $S = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , (B) $f=(x^5-1)/(x-1)$ y $S = \mathbb{F}_{16}$ con 15 unidades, una contradicción, o (C) $f=x^5-1$ y $S=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{F}_{16}$ con 15 unidades, una contradicción. Por lo tanto, la única unidad es $r=1$ , contradiciendo la existencia de 5 unidades.

Answer 2

Aquí tienes un par de ideas:

1. $-1 \in R$ es siempre invertible. Si $-1 \neq 1$ entonces se deduce que $R^*$ debería tener un orden uniforme, una contradicción. Por lo tanto, $1=-1$ en el anillo $R$ Así que, de hecho $R$ contiene un subcampo isomorfo a $\mathbb{F}_2$ .
2. Dejemos que $a$ sea el generador de $R^*$ . Consideremos el subring $N \subseteq R$ generado por $1$ y $a$ . Entonces, de hecho $N \simeq \mathbb{F}_2[x] / (f(x))$ , donde $\mathbb{F}_2[x]$ es el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}_2$ y $f(x)$ es algún polinomio de ese anillo.
3. Desde $a^5=1$ se deduce que $f(x)$ divide $x^5+1$ . Esto deja sólo un número finito de opciones para $f$ y, por tanto, para $N$ . Entonces se puede tratar cada caso por separado y ver que en cada caso $|N^*| \neq 5$ .