Vamos $$f_*:\pi_n(A)\to\pi_n(X)$$ be an isomorphism induced by a map $f:A\to X$ of based topological spaces. Does the suspension $\Sigma f$ induce an isomorphism $$(\Sigma_f)_*:\pi_{n+1}(\Sigma A)\to\pi_{n+1}(\Sigma X)?$$
Respuestas
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No. Considere la posibilidad de $A=X=S^1$ con $n=2$. Deje $f$ ser una constante mapa. A continuación, $f$ induce un isomorfismo en $\pi_2(S^1)=0$. La suspensión es de null-homotópica, por lo que también induce el cero mapa en $\pi_3(S^2)\cong\mathbb Z$. (Generados por el Hopf mapa). Por lo $\Sigma f$ no induce un isomorfismo.
Xalloumokkelos
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Si se agrega la condición de que $f$ es $n$-conectado (es decir, $\pi_k(f)$ es un isomorfismo para todos los $k\leq n$ y un epimorphism para $k=n+1$), entonces es cierto, la aplicación de la
Whitehead Teorema (Teorema de 10.28 en [Switzer, Topología Algebraica]): Sea X, Y ser simplemente conectado espacios.
(1) Si $f\colon X\rightarrow Y$ es $n$conectados a la mapa, a continuación, $H_k(f)$ es un isomorfismo para todos los $k\leq n$ y un epimorphism para $k=n+1$.
(2) Si $f\colon X\rightarrow Y$ es un mapa tal que $\pi_1(f)$ es un isomorfismo y $H_k(f)$ es un isomorfismo para todos los $k\leq n$, y un epimorphism para$k=n+1$,, a continuación, $f$ es $n$-conectado.
De vuelta a la pregunta, ya que el $f$ es $n$-conectado, por (1) $H_k(f)$ también es un isomorfismo para todos los $k\leq n$ y un epi para $k=n+1$, por lo tanto $H_k(\Sigma f)$ es un isomorfismo para todos los $k\leq n+1$ y un epi para $k=n+2$. Además, $\pi_1(\Sigma A)$ e $\pi_1(\Sigma X)$ son tanto abelian y (en caso de $f$ al menos $0$-conectado) $H_1(\Sigma f)$ es un isomorfismo, por lo tanto $\pi_1(\Sigma f)$ también es un isomorfismo. Por último, aplicar (2) para obtener ese $\Sigma f$ es $(n+1)$-conectado.
