Cómo integrar $\int x^2 \sin^2(x)dx$

Question

No sé cómo integrar $\int x^2\sin^2(x)\,\mathrm dx$ . Sé que debería hacerlo por partes, donde tengo $$ u=x^2\quad v'=\sin^2x \\ u'=2x \quad v={-\sin x\cos x+x\over 2}$$ y ahora tengo

$$ \int x^2\sin^2(x)\,\mathrm dx = {-\sin x\cos x+x\over 2} x^2 - \int 2x{-\sin x\cos x+x\over 2}\,\mathrm dx\\ ={-\sin x\cos x+x\over 2} x^2 - \int x(-\sin x\cos x+x)\,\mathrm dx\\ $$ por lo que tengo que calcular $$ \int x(-\sin x\cos x+x)\,\mathrm dx=-\int x\sin x\cos x\,\mathrm dx+\int x^2\,\mathrm dx$$

Sé que $\int x^2\,\mathrm dx = {1 \over 3}x^3+C$ pero no sé qué debo hacer con $$\int x\sin x\cos x \,\mathrm dx$$ ¿Debo usar las piezas de nuevo o qué? Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenemos $\sin x \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ . Ahora lo hará otra integración por partes.

Puede ser ligeramente más fácil señalar al principio que $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ . Así que queremos integrar $\dfrac{1}{2}x^2(1-\cos 2x)$ Es decir, $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}\cos 2x$ que me resulta más familiar.

Answer 2

Todo lo que necesitas está en la respuesta de @Andre pero, me gustaría apuntarte una forma sencilla de resolver la última integral: