La integración de $\frac{1}{x\ln(x)}$ por partes

Question

Intenté solucionar $\int \frac{dx}{x\ln(x)}$ por partes. Lo he hecho como de costumbre: $$\int \frac{dx}{x\ln(x)}=\begin{bmatrix} f(x)=\frac{1}{\ln x} & g'(x)=\frac{1}{x}\\ f'(x)=-\frac{1}{x\ln^2x} & g(x)=\ln x \end{bmatrix} = \frac{1}{\ln x} \ln x \int \left(-\frac{1}{x\ln^2x}\ln x\right)dx=$$ $$ =1+\int \left(\frac{dx}{x\ln x}\right) $$ Así, la mayoría de la izquierda y la parte derecha, se obtiene: $$ \int \frac{dx}{x\ln(x)}=1+\int \left(\frac{dx}{x\ln x}\right) $$ Restando integral de ambos lados, obtenemos: $$ 0=1 $$ Sé que $\int \frac{dx}{x\ln(x)}=\ln(\ln x)+C$. Sin embargo, a menudo me use integración por partes y me pregunto ¿qué está mal aquí, y qué debo hacer para evitar esto (aquí es claramente erróneo, pero ¿y si el error fue más sutil?). Supongo que puede ser algo relacionado con las constantes, pero he usado para agregarlos al final adecuada (?).

Answer 1

Cuando resta $\int \frac{dx}{x \log x}$ de $\int \frac{dx}{x \log x}$, recuerda que los dos indefinido integrales podría tener diferentes constantes de integración, por lo que todos saben es que la diferencia es una constante.

En este caso, ¿qué podemos aprender de la integración por partes es sólo eso "$1$ es una constante", que no es particularmente esclarecedor.

Sustituyendo $u=\log x$ como Carlos Jiménez sugiere, debería hacer más progreso para esta integral.

Answer 2

Lo que hizo es correcto, aunque no concluyentes. El equalityy$$\int\frac{dx}{\ln x}=1+\int\frac{dx}{\ln x}$$simply means that there are primitives $f$ and $g$ of $\frac1{\ln x}$ such that $f=1+g$, una afirmación trivial.

Con el fin de calcular la primitiva, do$$\int\frac{dx}{x\ln x}=\int\frac{\ln'x}{\ln x}\,dx=\ln(\ln x)).$$

Answer 3

Un simple ejemplo de esta "paradoja": $$\int \frac1x \, dx = \int 1 \frac1x \, dx = x \frac1x - \int x \left(-\frac{1}{x^2}\right) \, dx = 1 + \int \frac1x \, dx$$

Answer 4

Esta famosa paradoja tiene la simple resolución que, debido a que el indefinido integrales se determina sólo a una constante, puede verificar explícitamente que las cosas están bien, si en lugar de utilizar las integrales definidas. Nota también puede configurar esta paradoja como a su partido de truco con cualquier opción de satisfacciones $uv=c$, por lo que el original integrando es la derivada de la $c\ln v$.