Demostrando $f(C) \setminus f(D) \subseteq f(C \setminus D)$ y refutar la igualdad

Question

Deje $f: A\longrightarrow B$ ser una función.

1)Demostrar que para cualquier par de conjuntos, $C,D\subseteq A$ , tenemos $f(C) \setminus f(D)\subseteq f(C\setminus D)$.

2)Dar un ejemplo de una función de $f$, y establece $C$,$D$, para que $f(C) \setminus f(D) \neq f(C\setminus D)$

Primer tiempo expuesto a los conjuntos.. ¿cómo puedo probar esto? Los supuestos que debo hacer?

Answer 1

Ya que eres nuevo en esto, en lugar de dar una idea, me voy a mostrar en detalle cómo se podría enfocar y resolver los problemas de ambos.

La forma más sencilla de demostrar que $X\subseteq Y$ es dejar a $x$ ser un elemento arbitrario de $X$ y demostrar de alguna manera que esto obliga a $x$ a pertenecer a $Y$ así. Aquí tenéis $f:A\to B$ e $C,D\subseteq A$, y quiere mostrar que $f[C]\setminus f[D]\subseteq f[C\setminus D]$, así que vamos a $x\in f[C]\setminus f[D]$ ser arbitraria. Entonces, por la definición de diferencia de conjuntos sabemos que $x\in f[C]$ e $x\notin f[D]$. Desde $x\in f[C]$, hay algunos $c\in C$ tal que $x=f(c)$. Puede $c$ pertenecen a $D$? No, porque si $c\in D$,, a continuación,$x=f(c)\in f[D]$, que sabemos no es el caso. Por lo tanto,$c\in C\setminus D$, e $x=f(c)\in f[C\setminus D]$. En este argumento se utilizó ninguna información acerca de la $x$ más allá de la suposición de que pertenecía a $f[C]\setminus f[D]$, por lo que hemos demostrado que cada elemento de $f[C]\setminus f[D]$ es un elemento de $f[C\setminus D]$ y, por tanto, por la definición de subconjunto, que $f[C]\setminus f[D]\subseteq f[C\setminus D]$.

Mi argumento es un poco prolijo, porque he rellenado algunos detalles muy rápidamente convertirse en casi una segunda naturaleza; podría ser condensados un poco justa y todavía ser aceptable para un grado. Sin embargo, cuando usted está recién empezando está en equilibrio mejor decir demasiado que decir muy poco: si tienes razón, voy a tranquilizar al grado de que usted realmente no entiende lo que estás diciendo, y si te equivocas, vas a hacer que sea más fácil ver lo erróneo concepto de que usted tiene.

Con el fin de construir un ejemplo en el que $f[C]\setminus f[D]\ne f[C\setminus D]$, vamos a tener que arreglar asuntos, de modo que $f[C]\setminus f[D]\subsetneqq f[C\setminus D]$. Eso significa que queremos tener algo en $f[C\setminus D]$ que no está en $f[C]\setminus f[D]$. Si $x\in f[C\setminus D]$, entonces no es un $c\in C\setminus D$ tal que $x=f(c)$; claramente $c\in C$, lo $x\in f[C]$. La única manera de mantener esta $x$ de $f[C]\setminus f[D]$ es para asegurarse de que $x\in f[D]$. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que hay algo de $d\in D$ tal que $x=f(d)$. Y eso es realmente todo lo que necesitamos para construir nuestro ejemplo. Vamos $A=\{c,d\}$, $B=\{x\}$, $C=\{c\}$, y $D=\{d\}$, y deje $f$ ser la única función de $A$ a $B$: $f(c)=f(d)=x$. Entonces

$$f[C]\setminus f[D]=f[\{c\}]\setminus f[\{d\}]=\{x\}\setminus\{x\}=\varnothing\;,$$

y

$$f[C\setminus D]=f[\{c\}\setminus\{d\}]=f[\{c\}]=\{x\}\;,$$

y, ciertamente,$\{x\}\ne\varnothing$.

Cuando se intenta construir un ejemplo con determinadas propiedades, pregúntate a ti mismo lo que tiene que suceder para que esto tenga esas propiedades. Aquí tenía que ser distintos elementos $c\in C\setminus D$ e $d\in D$ que $f$ enviado el mismo elemento de $B$. Que resultó ser todo lo que necesita; en otro problema que usted podría tener que trabajar un poco más duro. Otra técnica útil es pensar acerca de cómo usted puede tratar de demostrar que no hay ejemplo de que existe; en el contexto actual que significaría demostrando que es siempre el caso de que $f[C]\setminus f[D]=f[C\setminus D]$. Ver donde su intento de prueba se queda atascado, y tratar de ver por qué se queda atascado; que, a menudo, da una buena idea de lo que es un contraejemplo tiene que parecer.

Answer 2

Aquí es una prueba de la $\;\subseteq\;$ parte, que se remonta a las definiciones y, a continuación, utiliza la lī ogica.

Comenzamos en el lado izquierdo, y tratar de ver qué elementos de la $\;y\;$ son de la serie: para todos los $\;y\;$,

\begin{align} & y \in f[C] \setminus f [D] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & y \in f[C] \;\land\; y \not\in f [D] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%, twice"} \\ & \langle \exists x : f(x) = y : x \in C \rangle \;\land\; \lnot \langle \exists x : f(x) = y : x \in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"DeMorgan"} \\ (*) \;\;\; \phantom\equiv & \langle \exists x : f(x) = y : x \in C \rangle \;\land\; \langle \forall x : f(x) = y : x \not\in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: use %#%#% on other side of %#%#%:} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{\text{"}}\text{when simplifying %#%#% in %#%#% we may assume %#%#%} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{\text{"}}\text{-- to bring %#%#% and %#%#% together as in our goal"} \\ & \langle \exists x : f(x) = y : x \in C \land x \not\in D \rangle \;\land\; \langle \forall x : f(x) = y : x \not\in D \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\;\;\text{"logic: weaken using %#%#%} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{\text{"}}\text{-- the right hand part isn't needed anymore"} \\ (**) \;\;\; \phantom\equiv & \langle \exists x : f(x) = y : x \in C \land x \not\in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & \langle \exists x : f(x) = y : x \in C \setminus D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & y \in f[C \setminus D] \end{align} Por la definición de $\;\setminus\;$ esto demuestra $\;\cdot[\cdot]\;$.

Finalmente, para encontrar un contraejemplo para la $\;\langle \forall x : f(x) = y : x \not\in D \rangle\;$ parte, encontrar $\;\land\;$ para que el $\;P\;$ paso anterior no puede ser revertido.

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Si te quedas atascado en $\;P \land Q\;$ y los dos siguientes pasos son demasiado mágico, también se puede trabajar desde el otro lado hasta llegar a $\;Q\;$, y luego (por la definición de $\;C\;$) a la que está a la izquierda con probar $$ \langle \exists x : f(x) = y : x \C \rangle \;\de la tierra\; \langle \forall x : f(x) = y : x \no\D \rangle \;\Rightarrow\; \langle \exists x : f(x) = y : x \C \de la tierra x \no\D \rangle $$ Ahora se espera que sea más fácil ver por qué tenemos que traer a $\;D\;$ e $\;P \land Q \;\Rightarrow\; P\;$ juntos.

Answer 3

Aquí, $f: A \rightarrow B$ está en verde y $\{S_i\} = S_i$ para $S = A, B$ e $i = 1, 2.$
Ignorar $\{b_2\} = B_2$ en esta imagen. Esta imagen demuestra que $ f(A_1) - f(A_2) \neq f(A_1 - A_2)$. Por cierto, la misma imagen que funciona para que Es esto una prueba de corregir : No $F(A)\cap F(B)\subseteq F(A\cap B) $ para todas las funciones $F$?

Answer 4

Esto se vincula a un recurso de determinados intentos de soluciones para los ejercicios de Terence Tao Análisis del yo (2006) 1E. Una prueba para $f(C)\backslash f(D) \subseteq f(C \backslash D)$ e $f \hspace{0.2cm} \text{injective} \rightarrow f(C)\backslash f(D) = f(C \backslash D)$ se puede encontrar allí.