Demuestre para cada entero impar$a$ que$(a^2 + 3)(a^2 + 7) = 32b$ para algún entero$b$.

Question

He llegado hasta este punto:

$a$ es impar, por lo $a = 2k + 1$ para algunos entero $k$.

A continuación, $(a^2 + 3).(a^2 + 7) = [(2k + 1)^2 + 3] [(2k + 1)^2 + 7]$

$= (4k^2 + 4k + 4) (4k^2 + 4k + 8) $

$=16k^4 + 16k^3 + 32k^2 + 16k^3 + 16k^2 + 32k + 16k^2 + 16k + 32$

$=16k^4 + 32k^3 + 64k^2 + 48k + 32$

Pero esto no es un múltiplo de 32, en la mayoría de los que yo podría decir $(a^2 + 3)(a^2 + 7) = 16b$ para algunos entero $b$

Answer 1

Vuelva a escribir su primer paso como

$$4(k^2 + k + 1) \cdot 4(k^2 + k + 2) = 16 (k^2 + k + 1)(k^2 + k + 2)$$

Ahora note que $k^2 + k + 1$ e $k^2 + k + 2$ tienen paridades opuestas....

Answer 2

El uso de la aritmética modular (esta no es la manera más simple pero también funciona muy bien para similares, problemas más complicados). Observe que para cualquier extraño $a$ tenemos $a^2 \equiv 1 \ \text{(mod 4)}$ e $a^2 \equiv 1 \ \text{(mod 8)}$. Por lo $a^2 + 3 \equiv 0\ \text{(mod 4)}$, lo que significa que $a^2 + 3$ es divisible por $4$, e $a^2 + 7 \equiv 0\ \text{(mod 8)}$ (idem dito). Por lo que el producto es divisible por 32.

Answer 3

Aviso

$$16k^4 +48k = 16k(k^3+3).$$

Si $k$ es incluso, hemos terminado. Si $k$ es impar, entonces $k^3 +3$ es aún, y hemos terminado.

Answer 4

inserte $a=2b+1$ y se obtiene

$((2b+1)^2 + 3)((2b+1)^2 + 7) /32= 1/2 (b^2+b+1) (b^2+b+2)$

cualquiera de las $(b^2+b+1)$ o $(b^2+b+2)$ serán aún así, el lado derecho es un entero para todo b.