Expectativa condicional para el número de caras en el lanzamiento de una moneda dependiendo del número que se muestra en el dado

Question

Una feria de morir es sacudida y una moneda es lanzada el número de veces que la puntuación se muestra en el molde. Si las cabezas se muestran en los lanzamientos de la moneda, nos sop, de lo contrario, continuar con el experimento de tirar el dado y la moneda hasta que al menos una cabeza se muestra. Encuentre el número esperado de lanzamientos de la moneda antes de parar.

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Denotar $ N: N ^o$ muestra en dados : ${1,2,3,4,5,6}$

$ \therefore \mathbf{P} (N=n) = \frac{1}{6} $

$ \mathbf{P} (X=H) = \frac{1}{2}$

$ \mathbf{E}(N=n) = \sum \mathbf{E}(N=n|X=H) \ .\ \mathbf{P}(X=H) $

$ =\frac{1}{2} \sum \mathbf{E}(N=n|X=H) $

Entonces no estoy seguro de si estoy en el camino correcto. La respuesta es $\frac{448}{107}$

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante. Gracias por compartirlo! Aquí está mi solución:

Para el $k$-ésimo lanzamiento de la matriz, se denotan $X_k$ como muestra la puntuación del dado, y $S_k = 1$ si no hay cabeza apareció desde el primer tirando hasta que este (el $k$-th) lanzando, de lo contrario,$S_k = 0$. Formalmente,

$$S_k = 1\{\text{no head appeared before $k$-th tossing of the die}\}.$$

Tan sólo al $S_k = 1$ vamos a tirar el dado para $k$-ésimo tiempo, de lo contrario no vamos a tirar la $k$-th morir y dejar aquí (después de la $(k-1)$-ésimo lanzamiento de morir). Por definición,$S_1 = 1$. A continuación, el número total de lanzamientos de la moneda puede ser descrito como

$$T_n = X_1 + \sum_{k = 2}^{\infty}S_{k}X_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty}S_{k}X_{k}.$$

Así

$$\mathbb{E}T_n = \sum_{k = 1}^{\infty}\mathbb{E}(S_{k}X_{k}).$$

Desde $S_{k}$ sólo depende de $X_1,\cdots,X_{k-1}$, que es independiente de la $X_k$, por lo que

$$\mathbb{E}(S_{k}X_{k}) = \mathbb{E}S_{k} \mathbb{E}X_{k}.$$

Tenga en cuenta que

$$\mathbb{E}[S_{k}|X_1,\cdots,X_{k-1}] = \frac{1}{2^{X_1}}\frac{1}{2^{X_2}}\cdots\frac{1}{2^{X_{k-1}}}$$

y $\mathbb{E}\frac{1}{2^{X_i}} = \frac{1}{6}(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{64})= \frac{21}{128}$, tenemos (para $k\geq 1$)

$$ \mathbb{E}S_{k} = \mathbb{E}(\mathbb{E}[S_{k-1}|X_1,\cdots,X_{k-1}]) = \left(\frac{21}{128}\right)^{k-1}.$$

Por lo tanto (tenga en cuenta que $\mathbb{E}X_k = \frac{7}{2}$)

$$\mathbb{E}T_n = \sum_{k = 1}^{\infty}\mathbb{E}(S_{k}X_{k}) = \frac{7}{2}\sum_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{21}{128}\right)^{k-1} = \frac{7}{2}\frac{1}{1-\frac{21}{128}} = \frac{448}{107}.$$