Calculando el área entre dos funciones expresadas en coordenadas polares

Question

Tengo lo siguiente en coordenadas polares: $r=1+\cos(\theta)$ y $r=3\cos(\theta)$.

La pregunta es calcular el área dentro de $r=1+\cos(\theta)$ y fuera de $r=3\cos(\theta)$. Sé que necesito usar la fórmula $$\int\frac{1}{2}r^2d\theta$$ Pero realmente no sé qué límites elegir para ambas coordenadas polares.

Answer 1

A veces una función está fuera, a veces la otra. ¿Cómo quieres integrar tal región?

Answer 2

Cuando dibujas un gráfico, notarás que $r=1+\cos\theta$ es una cardiode y $r=3\cos\theta$ es un círculo.

Para encontrar el área dentro de $r=1+\cos\theta$ y fuera de $r=3\cos\theta$ necesitas dividir la integral en dos partes.

También necesitas encontrar el punto de intersección de esas dos áreas.

Entonces, para encontrar eso necesitamos $$1+r\cos\theta=3\cos\theta$$ $$\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}$$ Así, el área que necesitamos es $$A=\int_{\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}{2}}\int_{3\cos\theta}^{1+\cos\theta}r\ drd\theta=1-\dfrac{\pi}{4}$$

Answer 3

Encuentra el ángulo donde se intersecan las dos curvas (hay dos de ellas, pero la que está por encima del eje x será suficiente para nuestros propósitos):

$$1+\cos{\theta}=3\cos{\theta}\implies\\ \cos{\theta}=\frac{1}{2}\implies\\ \theta=\frac{\pi}{3}.$$

Tu área va a ser el doble de la integral de $\frac{1}{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^2$ desde $\frac{\pi}{3}$ hasta $\pi$ (el gráfico tiene simetría a través del eje x, por eso estamos multiplicando la integral por $2$) menos el doble de la integral de $\frac{1}{2}\left(3\cos{\theta}\right)^2$ desde $\frac{\pi}{3}$ hasta $\frac{\pi}{2}$ (necesitas restar la área extra barrida por $r=3\cos{\theta}$ que está por encima de la línea que conecta el punto de intersección de las dos curvas y el origen):

$$A=2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\frac{1}{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^2\,d\theta -2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left(3\cos{\theta}\right)^2\,d\theta=\\ \pi-\frac{9\sqrt{3}}{8}-\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{8}\right)= \frac{\pi}{4}.$$