Búsqueda de los límites

Question

Supongamos $a_1=1, a_{k+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots +a_k}, k \in \mathbb{N}$. Encontrar los límites

$$i)\space \lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{n\sqrt{n}}$$ $$ii)\space \lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{n^2}$$

Estoy perplejo con ella. Qué hacer?

Answer 1

Para $n > 1$, tenemos $$a_{n+1}^2 = a_{n} + ( a_{n-1} + \ldots + a_{1} ) = a_{n} + a_{n}^2$$ Esto implica $$\displaystyle a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + a_n} < \sqrt{a_n^2 + a_n +\frac14} = a_n + \frac12$$ Aviso de $a_2 = \sqrt{a_1} = 1$, esto nos da una cota superior de a$a_m \le \frac{m}{2}$$m > 1$.

Como se ha señalado por robjohn, hay un error en el original derivación de un límite inferior.
Para obtener una correcta límite inferior, vamos a construir en 3 etapas.

1. Es evidente $a_k$ es un aumento de la secuencia y desde $a_1 = 1$, tenemos $a_k \ge 1$ todos los $k$.

2. Desde $\quad a_{n+1} = \sqrt{ a_n^2 + a_n } \ge \sqrt{ a_n^2 + \frac23 a_n + \frac13} > a_n + \frac13\quad$$a_1 = a_2 = 1 $,
   llegamos $a_m > \frac{m}{3}$$m > 0$.

3. Observe $\displaystyle\quad(a_n + \frac12 - \frac{1}{8a_n})^2 = a_n^2 + a_n - \frac{1}{8a_n} ( 1 - \frac{1}{8a_n}) < a_{n+1}^2.$
   El límite inferior de $2^{nd}$ etapa implica $$\begin{align} & a_{n+1} > a_n + \frac12 - \frac{1}{8a_n} > a_n + \frac12 - \frac{3}{8n}\\ \implies & a_m \ge \frac{m}{2} - \frac{3}{8} \sum_{k=2}^{m-1}\frac{1}{k}\;\;\text{ for }m > 2 \end{align}$$

Desde $\displaystyle \sum_{k=2}^{m-1}\frac{1}{k} \sim \log m + O(1)$ grandes $m$, nos encontramos con $\displaystyle\quad a_m = \frac{m}{2} + O(\log m)\quad$$m \to \infty$.

Para el primer límite, tenemos la estimación:

$$\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n\sqrt{n}} = \frac{a_{n+1}^2}{n\sqrt{n}} = \frac{\left(\frac{n}{2} + O(\log n)\right)^2}{n\sqrt{n}} \sim O(\sqrt{n})$$

Esto implica que el primer límite diverge. Para el segundo límite, hemos

$$\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n^2} = \frac{a_{n+1}^2}{n^2} = \frac{\left(\frac{n}{2} + O(\log n)\right)^2}{n^2} = \frac14 + O(\frac{\log n}{n})$$

Desde $\lim_{n\to\infty} \frac{\log n}{n} = 0$, el segundo límite existe y es igual a $\frac14$.

Answer 2

Para $n\ge1$, tenemos $$ \sum_{k=1}^na_k=a_{n+1}^2\etiqueta{1} $$ $(1)$ conduce a $a_{n+1}^2-a_n^2=a_n$, lo que implica que $a_n$ está aumentando y que $$ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{a_{n+1}+a_n}\le\frac12\etiqueta{2} $$ De hecho, $$ \frac12-\frac{a_n}{a_{n+1}+a_n}=\frac12\frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1}+a_n}\le\frac12\frac{\frac12}{2a_n}=\frac1{8a_n}\tag{3} $$ Por lo tanto, $(2)$ $(3)$ dicen que $$ \frac38\le\frac12-\frac1{8a_n}\le a_{n+1}-a_n\le\frac12\etiqueta{4} $$ Sumando $(4)$ rendimientos $$ \frac{3n+5}{8}\le a_n\le\frac{n+1}{2}\etiqueta{5} $$ Podemos usar $(5)$ mejorar $(4)$: $$ \frac12-\frac1{3n+5}\le a_{n+1}-a_n\le\frac12\etiqueta{6} $$ Desde $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{3n+5}\le\int_0^{n-1}\frac{\mathrm{d}x}{3x+5}=\frac13\log\left(\frac{3n+2}{5}\right)\tag{7} $$ Sumando $(6)$ rendimientos $$ \frac{n+1}{2}-\frac13\log\left(\frac{3n+2}{5}\right)\le a_n\le\frac{n+1}{2}\etiqueta{8} $$

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Para manejar $i)$, $$ \begin{align} \frac1{n^{3/2}}\sum_{k=1}^na_n &=\frac1{n^{3/2}}a_{n+1}^2\\ &\ge\frac1{n^{3/2}}\left(\frac{n+2}{2}-\frac13\log\left(\frac{3n+5}{5}\right)\right)^2\\[12pt] &\to\infty\tag{9} \end{align} $$ Para manejar $ii)$, $$ \begin{align} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^na_n &=\frac1{n^2}a_{n+1}^2\tag{10} \end{align} $$ La aplicación de $(8)$ rendimientos $$ \frac1{n^2}\left(\frac{n+2}{2}-\frac13\log\left(\frac{3n+5}{5}\right)\right)^2 \le\frac1{n^2}a_{n+1}^2 \le\frac1{n^2}\left(\frac{n+2}{2}\right)^2\etiqueta{11} $$ Así que por el Teorema del sándwich, tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^na_n=\frac14\etiqueta{12} $$