Mostrar que la matriz conmuta con la matriz compañera es un polinomio.

Question

Deje $A$ ser un lineal de transformación en $n$-dimensional $V$ sobre un campo $F$. Bajo una base $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$, la representación de la matriz de $A$ es de la siguiente manera: $$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}.$$ Let $C(A):= \{T: T\text{ es una transformación lineal en $V$ y } TA = A \}$, and let $F[A]$ denotes all the polynomials in $UN$. Show that: $$C(A) = F[A]; \dim(C(A)) = n.$$

Primero de todos, el polinomio mínimo $m(\lambda)$ de $A$ es la misma que la de su polinomio característico $f(\lambda)$, es decir, $m(\lambda) = f(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots a_0$. Por lo tanto, conectar $A$, vemos que todos los $A^{k}$ con $k \geq n$ podría ser expresado en $I, A, A^2, \cdots, A^{n-1}$. Por lo $\dim F[A] \leq n$. Si $\dim F[A] < n$, decir $k_0 I + k_1 A + \cdots + k_r A^r = 0$ con $r < n$ y algunos $k_j \neq 0$, entonces tenemos que $g(\lambda) = k_0 + k_1 \lambda + \cdots + k_r \lambda^r$ es otro polinomio con $g(A) = 0$. Por la definición de polinomio mínimo, debemos tener la $r \geq n$, una contradicción. Por lo $\dim(F[A]) = n$, y se queda a mostrar la primera igualdad de $C(A) = F[A]$.

También, se podría ver que $F[A] \subseteq C(A)$. Pero no estoy seguro de cómo mostrar la otra dirección. Podría alguien darme una pista?

Answer 1

Definir un lineal mapa de $\Psi \colon C(A) \rightarrow V$ por $\Psi(T) = T\alpha_1$. Vamos a mostrar que este mapa es un isomorfismo. En primer lugar, tenga en cuenta que $A^i \in C(A)$ para todos los $i \in \mathbb{N}_0$ y

$$ \Psi(I) = \alpha_1, \psi(A) = A\alpha_1 = \alpha_2, \cdots, \psi(A^{n-1}) = A^{n-1}\alpha_1 = \alpha_n. $$

Esto demuestra que $\Psi$ es surjective. A continuación, vamos a suponer que $\psi(T) = T\alpha_1 = 0$. Entonces $$ T\alpha_2 = T(A\alpha_1) = A(T\alpha_1) = A(0) = 0, \\ T\alpha_3 = T(A\alpha_2) = A(T\alpha_2) =0, \\ \vdots,\\ T\alpha_n = T(A\alpha_{n-1}) = A(T\alpha_{n-1}) = 0 \\ $$

lo que muestra que $T \equiv 0$. Esto demuestra que $\Psi$ es inyectiva. Por lo tanto, $ \dim C(A) = n$ y desde $\dim F[A] = n$ e $F[A] \subseteq C(A)$, podemos deducir que $F[A] = C(A)$.