La familia exponencial se define (en muchas fuentes) como:
$$p(x | \theta) = h(x) \exp\{\theta^TT(x) - A(\theta)\}$$
donde:
¿Qué es? $h(x)$ ? ¿Tiene un nombre o una interpretación específica?
El $h(x)$ de la familia exponencial se conoce como "medida subyacente". Sirve para garantizar $x$ está en el espacio correcto. Para muchas funciones, esta corrección es innecesaria (es decir, se establece en $1$ o $1/\sqrt{2}$ ). Sin embargo, desempeña un papel importante en la definición de muchas funciones. Dado que el papel es específico de la función más allá de la definición anterior, voy a enlazar a una parte de la página de Wikipedia para "familia exponencial" con algunos ejemplos útiles (en forma de tabla) del papel de $h(x)$ en las distribuciones comunes.
Enlace: https://www.wikiwand.com/en/Exponential_family#/Table_of_distributions
En el enlace que proporcionas se utiliza el término "medida base". ¿Son de uso común tanto "medida base" como "medida subyacente"? Soy consciente de que, en el lenguaje común, la diferencia de significado entre "medida subyacente" y "medida base" es pequeña o inexistente, pero dado que esta pregunta se refiere especialmente a la terminología, parece importante dar cuenta de los sinónimos más comunes y evitar la confusión.
Es un punto justo. Diré que he visto que "medida subyacente" se utiliza con más frecuencia en entornos académicos y me imagino que para alguien que quiera conocer el término sería mejor proporcionar el más aceptado en lugar de perpetuar la confusión de dos.
(+1) Yo añadiría que $h(\cdot)$ es el elemento determinante de la familia. Una vez elegida la medida de referencia, más el estadístico suficiente $T(\cdot)$ el espacio de los parámetros se define naturalmente como hecho de estos $\theta$ para los que la densidad está bien definida y $A(\theta)$ es el logaritmo de la constante de normalización.
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