¿$C_0(X)$ Determina la topología para un espacio localmente compacto$X$?

Question

Dado un localmente compacto Hausdorff espacio, no $C_0(X)$, las funciones continuas de fuga en el infinito, determinar la topología de $X$?

Por ejemplo, para un neto $\{x_{\alpha}\}\subset X$ si tengo $f(x_\alpha)\to f(x)$ para todos los $f\in C_0(X)$, no se sigue que la $x_{\alpha} \to x$ ?

No puedo encontrar ninguna referencia a la Banach-Stone teorema que prueba de ello. Realmente agradecería alguna información.

Gracias!

Answer 1

Sí. Si $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, a continuación, $C_0(X)$ es un Abelian C*-álgebra. Por otra parte, la Gelfand espectro de $C_0(X)$ es homeomórficos a $X$.

En otra palabra, si $C_0(X)$ e $C_0(Y)$ C*-isomorfos, entonces $X$ e $Y$ son homeomórficos.

(De hecho, cada Abelian C*-álgebra es de la forma $C_0(X)$. Esto se conoce como el Teorema de Gelfand.)

Answer 2

Deje $X^\ast$ ser el único punto de compactification de $X$, con compactifying punto de $\infty$, entonces si $C$ es cerrado en $X$ e $x \in X\setminus C$, tenga en cuenta que $C^\ast:=C \cup \{\infty\}$ es compacto en $X^\ast$ y como $X^\ast$ es normal que podemos encontrar una continua $f: X^\ast \to \mathbb{R}$ tal que $f(x)=1$ e $f[C^\ast]=\{0\}$. Y, a continuación, $g=f\restriction X \in C_0(X)$ e $g(x) \notin \overline{g[C]}$ y para el conjunto de $C_0(X)$ separa puntos y conjuntos cerrados. Por el conocido general de la topología de los hechos significa que se determina la topología en $X$ (la topología en $X$ es la única topología más pequeña que hace todas las funciones en $C_0(X)$ continua) y lo que usted dice acerca de las redes es una consecuencia de ese hecho.