Todos son los lados de los triángulos obtusos

Question

¿Cuál es el máximo número de enteros positivos entre los que ninguna de las tres son los lados de un triángulo obtusángulo?

Me pueden encontrar cuatro, $11,11,16,20$. Es posible conseguir cinco o más? Necesitamos $a^2+b^2<c^2$ $a+b>c$ todos los $a,b,c$.

Answer 1

Supongamos que tenemos cinco enteros positivos $a_1\le a_2\le a_3\le a_4\le a_5$ de manera tal que ninguna de las tres son los lados de un triángulo obtusángulo. Luego de reiteradas sustitución de $a_n^2+a_{n+1}^2<a_{n+2}^2$, $$a_5^2>a_4^2+a_3^2>2a_3^2+a_2^2>3a_2^2+2a_1^2$$ But $a_1+a_2>a_5$, so $$(a_1+a_2)^2>a_5^2>3a_2^2+2a_1^2=(a_2+a_1)^2+a_2^2+(a_2-a_1)^2$$lo cual es imposible.