Para $a,b,c,d > 0$ y $abcd = 1$ , demuestran que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{12}{a + b + c + d} \geq 7$

Question

Pregunta: Para $a,b,c,d > 0$ y $abcd = 1$ , demuestran que $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{12}{a + b + c + d} \geq 7$$

Mis intentos: Es trivial ver que la igualdad se produce para $a = b= c = d$ - por lo que esto indica que hay que utilizar alguna desigualdad en la que la condición de igualdad se cumpla cuando todas las cantidades son iguales - he probado con AM-GM-HM, con las potencias, con la reordenación, con Cauchy-Schwarz, con Newton, con Maclaurin, con AM-GM ponderado - no sirve, y la razón es que estas desigualdades obtienen una función de $a,b,c,d$ en el lado derecho, cuyo mínimo es $<7$ - y que el mínimo y la desigualdad nunca pueden cumplirse simultáneamente, lo que da un límite flojo.

He probado a reordenar la desigualdad de la forma $(\sum_{cyc} a )(\sum_{cyc} \frac{1}{a}) - 7 (\sum_{cyc} a) + 12 \geq 0 $ - Esto no ayuda. He probado la sustitución $(a,b,c,d) \rightarrow (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{w} )$ - esto tampoco es de ayuda. Incluso he intentado la sustitución $(a,b,c,d) \rightarrow (\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{w}, \frac{w}{x} )$ - tampoco ayuda. Escribirlo como $\frac{4}{M(-1)} + \frac{3}{M(1)} \geq 7$ donde $M(x)$ es la función de medios de potencia, y esperando utilizar alguna propiedad de $M(x)$ tampoco funciona.

Mi análisis : Supongamos que $S_i$ denota la suma tomada $i$ a la vez. Es trivial ver que $S_3 = \sum_{cyc} \frac{1}{a}$ está acotado por $S_4$ por Maclaurin o GM-HM. Sin embargo, $S_1$ es ilimitado por encima incluso si $S_4 = 1$ . Sin embargo, cuando $S_1$ alcanza un valor muy alto, también lo hace $S_3$ Por lo tanto, un mínimo tiene que considerar ambos términos simultáneamente, es decir, no se puede minimizar cada uno por separado y luego esperar minimizar la función.

Solución de fuerza bruta: La solución de fuerza bruta de considerarlo como una función de 4 variables y luego optimizar obviamente funciona, espero algo más inteligente o elegante.

Answer 1

Mezcla de variables y $uvw$ ayuda.

Voy a publicar mi solución, que encontré hace ocho años.

Dejemos que $f(a,b,c,d)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{12}{a+b+c+d}- 7$ y $a=\max\{a,b,c,d\}$ .

Así, $$f(a,b,c,d)-f\left(a,\sqrt[3]{bcd},\sqrt[3]{bcd},\sqrt[3]{bcd}\right)=$$ $$=\frac{bc+bd+cd-3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{bcd}-\frac{12\left(b+c+d-3\sqrt[3]{bcd}\right)}{(a+b+c+d)\left(a+3\sqrt[3]{bcd}\right)}\geq$$ $$\geq\frac{bc+bd+cd-3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{bcd}-\frac{12\left(b+c+d-3\sqrt[3]{bcd}\right)}{(\frac{b+c+d}{3}+b+c+d)\left(\frac{b+c+d}{3}+3\sqrt[3]{bcd}\right)}=$$ $$=\frac{bc+bd+cd-3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{bcd}-\frac{27\left(b+c+d-3\sqrt[3]{bcd}\right)}{(b+c+d)\left(b+c+d+9\sqrt[3]{bcd}\right)}.$$ Demostraremos que $$\frac{bc+bd+cd-3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{bcd}-\frac{27\left(b+c+d-3\sqrt[3]{bcd}\right)}{(b+c+d)\left(b+c+d+9\sqrt[3]{bcd}\right)}\geq0.$$ En efecto, dejemos que $b+c+d=3u$ , $bc+bd+cd=3v^2$ y $bcd=w^3$ .

Así, $$\frac{bc+bd+cd-3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{bcd}-\frac{27\left(b+c+d-3\sqrt[3]{bcd}\right)}{(b+c+d)\left(b+c+d+9\sqrt[3]{bcd}\right)}\geq0$$ es $ g(v^2)\geq0,$ donde $g$ es una función lineal creciente.

Id est, $g$ obtiene un valor mínimo, cuando $v^2$ obtiene un valor mínimo, lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Desde $g(v^2)\geq0$ es una desigualdad homogénea, basta con comprobar un solo caso: $c=d=1$ que después de la sustitución $b=x^3$ da $$(x-1)^2(2x^7+x^6+18x^5-10x^4-50x^3+36x^2+26x+4)\geq0,$$ lo cual es cierto.

Id est, $$f(a,b,c,d)\geq f\left(a,\sqrt[3]{bcd},\sqrt[3]{bcd},\sqrt[3]{bcd}\right)$$ y es suficiente para demostrar que $f(a,b,b,b)\geq0$ , donde $a=\frac{1}{b^3}$ , lo que da $$(b-1)^2(3b^6+6b^5+9b^4-9b^3-5b^2-b+3)\geq0,$$ lo cual es cierto.