Zona de pastoreo para una cabra alrededor de un círculo.

Question

Yo estoy haciendo esta pregunta de matemática y estoy realmente confundido sobre cómo acercarse a él.

Esta es la pregunta:

Un jubilado profesor de matemáticas ha decidido plantear una cabra. Él es el dueño de un silo y un granero. Los graneros de la pared frontal es tangente al silo en la esquina. El silo tiene una base circular con un radio de 10 pies. El profesor ha decidido correa de sujeción de la cabra a una cadena que está anclado en la esquina del granero, el punto de tangencia. También se ha cortado la cadena, de manera que es el tiempo suficiente para envolver alrededor del silo exactamente una vez, es decir, la longitud de la cadena es igual a la circunferencia del silo. El granero de la longitud es mayor que la de la cadena.

Esta es una imagen de el granero (plaza), el silo (círculo) y la cabra del área de pastoreo.

La respuesta que obtuve es -4762.48876, pero la zona es positivo, así que lo hice 4762.48876.

Estos son los pasos para obtener la respuesta que me han dado:

$$x(\phi)= -R\sin\phi + \phi R\cos\phi, \qquad y(\phi) = R-R\cos\phi - \phi R\sin\phi$$

Answer 1

Por lo que puedo ver de la parametrización que has escrito, tienes eje $x$ dirigido hacia abajo, y el eje de la $y$ dirigido a la izquierda, ¿es eso cierto? Eso significa que usted tiene los ejes orientados en un camino contrario de lo que normalmente hace ($y$ hacia la izquierda para $x$). Este es el origen de su signo opuesto.

Sugiero el uso de eje $x$ orientada a la derecha y el eje de la $y$ orientado, ya que es la forma en que normalmente se dibujan, por lo que es más difícil cometer un error. El centro del sistema de coordenadas será el centro de la base del silo.

Usted puede paramterize la frontera de la zona de pastoreo por $$ x(\phi)= -R\sin\phi + \phi R\cos\phi, \qquad y(\phi) = -R\cos\phi - \phi R\sin\phi$$ donde $R=10 {\rm m}$ e $\phi$ es el ángulo que muestra cuánto de la cadena es unwinded y no sigue la circunferencia del silo. Tenemos $\phi\in[0,2\pi]$.

Podemos notar que para $x$ inicialmente disminuye de $0$ para $\phi=0$ algunos $x_{\rm min}<0$ para algunos $\phi=\phi_0$ (como va a salir, el valor de $\phi_0$ no es importante) antes de que comience icreasing y llega a $x=2\pi R$ para $\phi=2\pi$. Para $x<0$ tenemos dos posibles valores de $y$ uno relacionado a $\phi<\phi_0$ y el otro de $\phi>\phi_0$. Vamos a denotar ellos $y_1(x)$ e $y_2(x)$. Para $x>0$ sólo tenemos $y_2(x)$, pero el límite inferior de esta región es la pared para $y=-R$.

La plena zona rodeada por la cadena, incluyendo la base del silo, está dada por \begin{align} S &= \int_{x_{min}}^0 (y_2(x)-y_1(x))dx + \int_0^{2\pi R} (y_2(x)-(-R)) dx =\\ &= - \int_{x_{min}}^0 y_1(x) dx + \int_{x_{min}}^{2\pi R} y_2(x) dx + 2\pi R^2=^\text{changing variables} \\ &= - \int_{\phi_0}^0 y(\phi) \frac{dx}{d\phi}(\phi) d\phi + \int_{\phi_0}^{2\pi} y(\phi) \frac{dx}{d\phi}(\phi) d\phi + 2\pi R^2= \\ &= \int_0^{\phi_0} y(\phi) \frac{dx}{d\phi}(\phi) d\phi + \int_{\phi_0}^{2\pi} y(\phi) \frac{dx}{d\phi}(\phi) d\phi + 2\pi R^2= \\ &= \int_0^{2\pi} y(\phi) \frac{dx}{d\phi}(\phi) d\phi + 2\pi R^2 = \\ &= (-\pi + \frac43\pi^3)R^2 + 2\pi R^2 = \\ &= (\pi + \frac43\pi^3)R^2 \end{align}

Al final tenemos que restar $\pi R^2$, que es la zona de los silos de la base para obtener la respuesta: $$ A = \frac43 \pi^3 R^2 \approx 4134 {\rm m}^2$$

Answer 2

He encontrado otro mucho más simple derivación del resultado. Nos dejemos dividir el área de pastoreo en infinitesimaly delgada triángulos, como a continuación:

Todos ellos aproximadamente isoceles. El triángulo con el vértice en el punto de $(R\sin\phi,R-R\cos\phi)$ tiene las patas de la longitud de la $L(\phi) = (2\pi-\phi)R$ (la longitud de unwinded de la cadena). se supone que ellos son muy delgada, con el ángulo en el vértice de ser $\Delta\phi$. Por lo tanto, el área de cada triángulo es

$$\Delta S \approx \frac12 L(\phi)^2 \sin( \Delta\phi) \approx \frac12 (2\pi-\phi)^2R^2 \Delta\phi$$

El área completa es, por tanto, igual a

$$ S = \int_0^{2\pi} \frac12 (2\pi-\phi)^2 R^2d\phi = -\frac{(2\pi-\phi)^3R^2}{6}\Big|_{\phi=0}^{2\pi} = \frac43\pi^3R^2$$

El método anterior he dado es más general: puede ser utilizado para cualquier área con un boundery conocidos con la parametrización. Esta respuesta es específica para este problema.