Problema en el análisis convexo: ¿Fácil o difícil?

Question

Espero que tu día va bien.

Este es un problema, no sé cómo resolverlo desde 1 semana. Va a ser un alivio y un placer para obtener su ayuda.

Problema : Vamos a $X = \{x_{1},\ldots,x_{N+M} \}$ como $\{x_{1},\ldots,x_{N} \} \subset \Omega := \text{int}( \text{conv} ( \{x_{N+1},\ldots,x_{N+M} \} ) )$ un polígono convexo con $ \text{conv} $ el convex hull.

Deje $u \in R^{X}$ como $u(x_{N+i}) = 0$ ($u=0$ sobre el borde) y $\tilde{u}^{**}(x_{i}) = u(x_{i})$ ($u$ es su convexa conjugado en $X$).

He aquí algunas explicaciones y definiciones : Vamos a $\tilde{u}$ que es $u(x_{i})$ cuando $x_{i} \in X$ e $+\infty$ lo contrario. Su convexa conjugado es $\tilde{u}^{*}(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}^{n}} \{ \langle x,y \rangle - \tilde{u}(x)\} = \max_{x \in X} \{ \langle x,y \rangle - \tilde{u}(x) \}$. Entonces me tome la convexo conjugado de la otra vez, me llamaron $v$.

Pregunta : Mostrar $v=0$ sobre el borde de la $\partial{\Omega}$

Creo que podemos usar ese $v$ es el supremum de función afín $\varphi$ como $\varphi \le \tilde{u}$. Que puede ser escrito : Si $\Sigma = \{(p,r) ; \forall y \in \mathbb{R}^{n}, \langle p,y \rangle + r \le \tilde{u}(y) \}$ tenemos : \begin{align*} \sup\{ \langle p,y \rangle + r ; (p,r) \in \Sigma \} = v(y) \end{align*}

Les deseo un muy buen día.

Answer 1

Voy a desarrollar esta idea : que $x \in \partial{\Omega}$ vamos a decir $ x \in [x_{a} ; x_{b}]$ con $x_{a}$ e $x_{b}$ dos vértices. Queremos mostrar que $\tilde{v}(x)=0$.

Es suficiente para demostrar que existe una línea de $D$ tal que $ D \le u$ e $D(x) = 0$. Desde el siguiente resultado : $$ p \en \partial{u}(x) \Leftrightarrow x \in \partial{u^{*}}(p) \text{ et } u^{**}(x) = u(x) $$ Es suficiente para encontrar un vector $p$ ortogonal a $x_{a}-x_{b}$ Y tales que $$ p \en \partial{u^{*}}(x_{a}) \cap \partial{u^{*}}(x_{b}) = \text{co}( \{x_{j} ; j \in J(x_{a}) \}) \cap \text{co}( \{x_{j} ; j \in J(x_{b}) \}) $$ Con $J(x_{a}) = \{ i ; \tilde{u}^{*}(x_{a}) = max_{z \in X} \{ \langle x_{a},z \rangle - u(z) = \langle x_{a},x_{i} \rangle - u(x_{i}) \} $.

Pero no estoy sur que tal $p$ puede existir. Tal vez alguien se inspira en las tesis de ideas.