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Problema en el análisis convexo: ¿Fácil o difícil?

Espero que tu día va bien.

Este es un problema, no sé cómo resolverlo desde 1 semana. Va a ser un alivio y un placer para obtener su ayuda.

Problema : Vamos a X={x1,,xN+M} como {x1,,xN}Ω:=int(conv({xN+1,,xN+M})) un polígono convexo con conv el convex hull.

Deje uRX como u(xN+i)=0 (u=0 sobre el borde) y ˜u(xi)=u(xi) (u es su convexa conjugado en X).

He aquí algunas explicaciones y definiciones : Vamos a ˜u que es u(xi) cuando xiX e + lo contrario. Su convexa conjugado es ˜u(x)=sup. Entonces me tome la convexo conjugado de la otra vez, me llamaron v.

Pregunta : Mostrar v=0 sobre el borde de la \partial{\Omega}

Creo que podemos usar ese v es el supremum de función afín \varphi como \varphi \le \tilde{u}. Que puede ser escrito : Si \Sigma = \{(p,r) ; \forall y \in \mathbb{R}^{n}, \langle p,y \rangle + r \le \tilde{u}(y) \} tenemos : \begin{align*} \sup\{ \langle p,y \rangle + r ; (p,r) \in \Sigma \} = v(y) \end{align*}

Les deseo un muy buen día.

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CechMS Puntos 13

Voy a desarrollar esta idea : que x \in \partial{\Omega} vamos a decir x \in [x_{a} ; x_{b}] con x_{a} e x_{b} dos vértices. Queremos mostrar que \tilde{v}(x)=0.

Es suficiente para demostrar que existe una línea de D tal que D \le u e D(x) = 0. Desde el siguiente resultado : p \en \partial{u}(x) \Leftrightarrow x \in \partial{u^{*}}(p) \text{ et } u^{**}(x) = u(x) Es suficiente para encontrar un vector p ortogonal a x_{a}-x_{b} Y tales que p \en \partial{u^{*}}(x_{a}) \cap \partial{u^{*}}(x_{b}) = \text{co}( \{x_{j} ; j \in J(x_{a}) \}) \cap \text{co}( \{x_{j} ; j \in J(x_{b}) \}) Con J(x_{a}) = \{ i ; \tilde{u}^{*}(x_{a}) = max_{z \in X} \{ \langle x_{a},z \rangle - u(z) = \langle x_{a},x_{i} \rangle - u(x_{i}) \} .

Pero no estoy sur que tal p puede existir. Tal vez alguien se inspira en las tesis de ideas.

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