Probar que$(x+1)^x-x^x(x-1)$ solo tiene una raíz (real)

Question

Para $x>0$ , quiero probar que $(x+1)^x-x^x(x-1)$ solo tiene una raíz

Answer 1

Escribir la ecuación como

$$ (1+1/x)^x = x-1 $$

Tenga en cuenta que $x > 1$ es necesario para que ambas partes tienen el mismo signo, y, a continuación,

$$ x \log(1+1/x) - \log(x-1) = 0$$

Llame al lado izquierdo $g(x)$. Ahora muestran que

1. $g(x)$ es convexa.
2. $\lim_{x \to 1+} g(x) = +\infty$
3. $\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty$.

EDIT: Como Clclstdnt comentarios, $g'' = \frac{x^3+x^2+3x-1}{x(x^2-1)^2}$. Para $x > 1$, tanto en el numerador y el denominador son positivos, por lo $g$ es convexa en $(1,\infty)$. Desde $\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty$, esto implica $g' < 0$ (es decir, si $g'(b) \ge 0$ para algunos $b$, tendríamos $g'(x) \ge 0$ para $x \ge b$, y, a continuación, $\lim_{x\to\infty} g(x)$ no podía ser $-\infty$). Que le dice $g$ tiene al menos un cero. Por otro lado, (2) y (3) y el Teorema del Valor Intermedio dice que hay al menos uno.

Answer 2

Mi respuesta es, sin duda va a tirar de algunas de las ideas de Robert Israel.

Así que primero nos re-escribir la ecuación como $$(1+1/x)^x = x-1$$ , como se sugirió anteriormente. A continuación, consideramos que estas dos funciones separadas y preguntar cuando se cruzan.

Deje $f(x) = (1+1/x)^x$ y deje $g(x)=x-1$.

Motivado por la siguiente respuesta a Cómo demostrar a $(1+1/x)^x$ es el aumento de al $x>0$? vemos que $\log(f(x))' = \log(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1}$ es creciente y, por tanto, $f(x)$ es demasiado. Asimismo, uno puede fácilmente demostrar que $\log(f(x))'' = -\frac{1}{x(1+x)^2}<0$ esto demuestra que $f$ es log-convexa, y por lo tanto convexo (esto se deduce de la siguiente La composición de dos funciones convexas es convexa desde $Exp$ es convexo y $\log(f)$ es convexa, por lo tanto $f=Exp[\log(f)]$ es demasiado).

$g(1)=0$ e $f(1)=2$ lo $g<f$ a $x=1$. Ahora que hemos establecido $f$ es convexo de ello se desprende que una vez $g$ (una línea recta) es mayor que $f$ es siempre mayor. De ello se desprende que hay una y sólo una solución para la ecuación equivalente $g$ intersecta $f$ exactamente una vez.