Demuestre por inducción que$\sum _{r=1}^n \cos((2r-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin\theta}$ es verdadero$\forall \ n \in \mathbb{Z^+}$

Question

Demostrar por inducción que $$\sum _{r=1}^n \cos((2r-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin\theta}$$ is true $\forall \ n \in \mathbb{Z^+}$

Así que mi intento ya que este es el siguiente, he empezado el paso inductivo, pero no sé por dónde continuar a partir de ahora, cualquier ayuda sería genial.

Si $n=1$

LHS = $\cos\theta$, HR = $\frac{\sin(2\theta)}{2\sin\theta} = \cos\theta$ lo $\therefore$ cierto cuando $n=1$.

Asumir cierto para $n=k$, $$\sum _{r=1}^k \cos((2r-1)\theta) = \frac{\sin(2k\theta)}{2\sin\theta}$$ Si $n=k+1$ $$\sum _{r=1}^{k+1} \cos((2r-1)\theta) = \sum _{r=1}^k \cos((2r-1)\theta) + \cos((2k+1)\theta)$$ $$ = \frac{\sin(2k\theta)}{2\sin\theta} + cos((2k+1)\theta)$$ $$= \frac{\sin(k\theta)\cos(k\theta)}{\sin\theta} + \cos(2k\theta)\cos\theta - \sin(2k\theta)\sin\theta$$ No estoy muy seguro de mi último paso me ha llevado a ninguna parte, pero yo no estaba seguro de en qué otra cosa hacer de aplicar el compuesto de ángulo de fórmulas.

Answer 1

A partir de donde lo dejó:

$$\frac{\sin (2k\theta)}{2\sin \theta} + \cos ((2k+1)\theta)$$

Deje $x=2k\theta$. A continuación, la expresión es

$$\frac{\sin x}{2\sin\theta} + \cos (x+\theta)$$

Suma de ángulos de identidad da

$$\frac{\sin x}{2\sin\theta} + \cos x\cos\theta - \sin x\sin\theta$$

$$=\frac{\sin x + 2\cos x\cos\theta\sin\theta - 2\sin x\sin^2 \theta}{2\sin\theta}.$$

Factoring, obtenemos $$=\frac{(1-2\sin^2\theta)\sin x + (2\cos\theta\sin\theta)\cos x}{2\sin\theta}.$$

Usamos el doble ángulo de la fórmula y el ángulo de la fórmula de la suma a la inversa: $$=\frac{\cos 2\theta \sin x + \sin 2\theta \cos x}{2\sin \theta}$$

$$=\frac{\sin(x+2\theta)}{2\sin\theta}$$

$$=\frac{\sin(2k\theta + 2\theta)}{2\sin \theta}$$

$$=\frac{\sin(2(k+1)\theta)}{2\sin \theta}.$$

Esto completa el paso inductivo.

Answer 2

$$\sin 2(k+1)\theta=\sin (2k+1)\theta \cos\theta+\cos (2k+1)\theta\sin\theta$ $ $$\sin 2(k-1)\theta=\sin (2k+1)\theta \cos\theta-\cos (2k+1)\theta\sin\theta$ $ por lo que $$\sin 2(k+1)\theta-\sin 2(k-1)\theta=2\cos(2k+1)\theta\sin\theta$ $ que con un poco de reorganización te da tu paso inductivo.

Answer 3

Puede usar el hecho de que: $$1+\cosθ+\cos(2θ)+\cdots+\cos(nθ)=\frac12+\frac{\sin\left[\left(n+\frac12\right)θ\right]}{2\sin\left(\frac\theta2\right)}$ $

Aquí hay una solución muy simple que no usa números complejos, solo algunas identidades trigonométricas básicas. Recuerde que $$2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta).$$ With the choice $ \ alpha = k \ theta$, $ \ beta = \ theta / 2$, we then have $$2 \cos k\theta \sin \frac{\theta}{2} = \sin\bigl((k + {\textstyle \frac{1}{2}})\theta\bigr) - \sin\bigl((k - {\textstyle \frac{1}{2}})\theta\bigr).$$ Summing of both sides over $ k = 0, 1 , \ ldots, n$ and observing that the RHS telescopes, $$\sum_{k=0}^n 2 \cos k\theta \sin \frac{\theta}{2} = \sin\bigl((n + {\textstyle \frac{1}{2}})\theta\bigr) - \sin\bigl(-{\textstyle \frac{1}{2}}\theta\bigr),$$ from which it immediately follows that $$\sum_{k=0}^n \cos k\theta = \frac{1}{2}\left( 1 + \frac{\sin((k+\frac{1}{2})\theta)}{\sin\frac{\theta}{2}}\right).$ $