¿Por qué es $\zeta(1+it) \neq 0$ equivalente al teorema de los números primos?

Question

La lectura a través de Titchmarsh, el libro de la Riemann zeta función, en el capítulo 3 analiza el Teorema de los números Primos. Una manera de demostrar que este resultado es la comprobación de la función zeta no tiene ceros en la línea de $z = 1 + it,$

$$\zeta(1 + it) \neq 0$$

De hecho, el libro ha $3$ o $4$ pruebas de este resultado. En realidad, la conexión para el primer número es el teorema de otro asunto. Una versión del Primer Número de Theoriem es:

$$\sum_{n \leq x} \Lambda (n) = x + o(x)$$

involucrando a la furgoneta Mangoldt función, pero ¿por qué esto es equivalente a la no desaparición de la de Riemann zeta función. Creo que se puede empezar a partir del teorema de Perron

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{1-iT}^{1+iT} \frac{\zeta'(w)}{\zeta(w)} \, \frac{x^w}{w}dw = \sum_{n \leq x} \Lambda (n)$$

y entonces no sé cómo proceder.

Answer 1

La declaración precisa de la Escalinata de la fórmula es que para cualquier $c>1$ $$\sum_{n\leq x} \Lambda(n)=\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\zeta'(w)}{\zeta(w)}\frac{x^w}{w}dw.$$ The reason that the lack of zeros on the $1$-line is equivalent to the prime number theorem comes from evaluating the integral by contour integration. Notice that the integrand $$\frac{\zeta'(w)}{\zeta(w)}\frac{x^w}{w}$$ has simple poles at precisely the zeros and poles of the Riemann zeta function, and so by extending a large contour around the entire plane left of the line $x=c$ we will pick up $$\text{Res}_{w=\rho} \frac{\zeta'(w)}{\zeta(w)}\frac{x^w}{w}=-\frac{x^\rho}{\rho}$$ at every zero of the zeta function, as well as the main term $$\text{Res}_{w=1} \frac{\zeta'(w)}{\zeta(w)}\frac{x^w}{w}=x.$$ Thus, as long as we can bound the edges of this contour and show that they go to zero in the limit (which requires some bounds on the growth of the analytic continuation of the zeta function) we obtain the explicit formula $$\sum_{n\leq x} \Lambda(n) =x -\sum_{\rho:\ \zeta(\rho)=0}\frac{x^\rho}{\rho}-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)},$$ where this sum is over all zeros of the Riemann zeta function. From this equation we can see where the equivalence comes from: a single term $$\frac{x^\rho}{\rho}$$ will be $o(x)$ if $\text{Re}(\rho)<1$, and it will be $\Omega(x)$ if $\text{Re}(\rho)=1$. Algunos análisis cuidadoso de los ceros permite esta idea intuitiva que ir a través de y llevar a la serie infinita, donde podríamos tener que preocuparse acerca de la cancelación o divergencia de la serie.

Ver también: ¿qué es Lo interesante acerca de los ceros de la $\zeta$ función