¿Por qué esta función no es integrable?

Question

Tengo una pregunta como puedo mirar el ejemplo 8.9(a) en Rudin del Real y el Análisis Complejo:

Deje $X$ e $Y$ ser la unidad cerrada intervalo de $[0,1]$, vamos a $\{\delta_n\}$ será cada vez más una secuencia de puntos distintos en $[0,1]$ que converge a $1$, y para cada entero positivo $n$, vamos a $g_n$ ser una verdadera función continua en $[0,1]$ con apoyo en $(\delta_n,\delta_{n+1})$, y de tal manera que $\int_{0}^{1} g_n(t)~dt=1$. Definir $f$ sobre $X\times Y$ como sigue: $$ f(x,y):=\sum_{n=1}^\infty[g_n(x)-g_{n+1}(x)]g_n(y). $$

Es fácil comprobar que el Teorema de Fubini no se aplica para $f(x,y)$. Y en el libro dice que esto es debido a que la función de $f(x,y)$ no es integrable, es decir,

$$\int_0^1\,dx\int_0^1|f(x,y)|\,dy=\infty$$

Pero yo no podía ver fácilmente por qué no es integrable.

Answer 1

Usted probablemente está familiarizado con el siguiente ejemplo de un no-integrable función

En el caso de integrar más de $x$ y, a continuación, más de $y$ obtener $0$, pero si integramos primero a través de la $y$ y, a continuación, más de $x$ obtener $1$. Aquí es fácil ver que la integral del valor absoluto se bifurca y por lo tanto la función no es integrable.

Si usted piensa acerca de ello, su función de captura esencialmente la misma idea. Sí, en el caso de las líneas verticales y horizontales sería la secuencia de $\delta_{n}$ (y no se extienden hasta el infinito), y la función no necesariamente será constante en esas casillas (rectángulos en su caso). La integral de la $f$ seguiría evaluar a $1$ en cada celda

$$\int_{\rm cell}f\left(x,y\right){\rm d}A=1$$

Por lo tanto

$$\int_{\rm cell}\left|f\left(x,y\right)\right|{\rm d}A\geq\left|\int_{\rm cell}f\left(x,y\right){\rm d}A\right|=1$$

y está claro que $f$ no es integrable, ya que hay un número infinito de tales células.