Distribución de supervivientes tras un brote zombi

Question

Supongamos que inicialmente hay una población de $A$ humanos y $B$ zombis. Estás sentado en una colina cercana con una escopeta; sin embargo, no eres muy buen tirador, así que cada vez que aprietas el gatillo, uno de los miembros de la población recibe un impacto uniforme al azar.

• Si le das a un zombi, el zombi muere.

• Si golpeas a un humano, los zombis se amontonan sobre el pobre humano herido y lo convierten en un nuevo zombi.

Sin dejarse intimidar por su falta de habilidad, sigue disparando a la población hasta que no hay más zombis. En este punto, ¿qué se puede decir de la distribución del número de supervivientes humanos?

Por ejemplo, podemos intentar calcular la probabilidad $q(A,B)$ que no haya supervivientes al final del proceso. Esta cantidad debe satisfacer la recurrencia $$q(A,B) = \frac{A}{A+B} q(A-1, B+1) + \frac{B}{A+B} q(A, B-1)$$ con las condiciones iniciales $q(0,k) = 1$ para $k\ge 0$ y $q(k,0) = 0$ para $k>0$ . ¿Existe una fórmula sencilla para $q(A,B)$ o asintótica razonable? ¿Qué se puede decir de la probabilidad $q(k,A,B)$ que hay $k$ supervivientes para $1\le k \le A$ ?

Además, el examen de algunos datos parece sugerir que siempre tenemos una propiedad "unimodal inversa" $$q(0,A,B) > q(1,A,B) > \cdots < q(A-1, A, B) < q(A, A, B)$$ con $q(0,A, B) > q(A, A, B)$ es decir, lo más probable es que no haya supervivientes. ¿Es posible mostrar esto en general?

Answer 1

Posible enfoque / demasiado largo para un comentario

Su recurrencia para los no supervivientes se puede generalizar fácilmente a una recurrencia para $k$ supervivientes. Deja que $q(k,A,B)$ sea la probabilidad de terminar con $k$ supervivientes que empiezan por $A$ humanos y $B$ zombis. Entonces:

$$q(k,A,B) = \frac{A}{A+B}\, q(k,A-1, B+1) + \frac{B}{A+B}\, q(k,A, B-1)$$

En otras palabras, la "forma" de la ecuación es idéntica independientemente de $k$ Y es que la recurrencia, en última instancia, sólo se basa en la Ley de la Probabilidad Total, aplicada al evento " $k$ supervivientes".

Sin embargo, las condiciones de contorno dependen de $k$ : $$q(k, A, 0) = \left. \begin{cases} 1, & k = A\\ 0, & k \ne A \end{cases}\right\| = \mathbb{I}_{\{k=A\}}.$$

En mi opinión, no es necesario especificar ningún caso límite cuando $B>0$ . Por definición, seguirás disparando hasta que $B=0$ de todos modos, y por lo tanto llegar a algunos $q(k, A,0)$ estado. (Por supuesto, para los cálculos numéricos reales, tiene sentido especificar $q(k, A, B) = 0$ siempre que $A < k$ sólo para ahorrar cálculos).

Una suposición salvaje: Como la "forma" de la recurrencia no depende de $k$ y las condiciones de contorno contienen sólo un punto con valor distinto de cero, me siento vagamente esperanzado de que podría haber más simplificaciones disponibles, por ejemplo, por "retropropagación" a partir de ese único punto distinto de cero. Sin embargo, esto es sólo una vaga intuición, e incluso si resulta, me sorprendería que la solución no fuera una complicada forma de suma y/o producto.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario. Creo que puedo demostrar la siguiente afirmación, bastante técnica, sobre el comportamiento del apocalipsis zombi iniciado con gran población.

Arreglar $\alpha, \beta > 0$ . Entonces, partiendo de la condición inicial $(\lfloor \alpha n \rfloor, \lfloor \beta n \rfloor)$ , denótese por $(A_n, B_n)$ el par de números de supervivientes/zombis después de la $n$ - el cuarto disparo. Si $T$ es la primera vez que $n$ en el que $B_n = 0$ , entonces consideramos el camino $(Z_t)_{0 \leq t \leq T/n}$ definido por

$$Z_t = \tfrac{1 - (nt - \lfloor nt \rfloor)}{n}(A_{\lfloor nt \rfloor}, B_{\lfloor nt \rfloor}) + \tfrac{nt - \lfloor nt \rfloor}{n}(A_{\lfloor nt \rfloor+1}, B_{\lfloor nt \rfloor+1}).$$

En otras palabras, $(Z_t)$ es la trayectoria lineal a trozos que une los puntos $\frac{1}{n}(A_k, B_k)$ y la velocidad se elige de manera que cada segmento de línea de $\frac{1}{n}(A_k, B_k)$ a $\frac{1}{n}(A_{k+1}, B_{k+1})$ se traza a una velocidad uniforme dentro del intervalo de tiempo $[k/n, (k+1)/n]$ . Entonces

Reclamación técnica. Como $n\to\infty$ , $(Z_t)_{0 \leq t \leq T/n}$ converge en su distribución a una curva determinista $\gamma = (\gamma(t))_{0 \leq t \leq 2\alpha+\beta}$ . Además, $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ satisface $$x' = -\frac{x}{x+y}, \qquad y' = \frac{x-y}{x+y}, \qquad (x(0), y(0)) = (\alpha, \beta).$$ Aquí, dos caminos en $\mathbb{R}^2$ están cerca si sus gráficos en $\mathbb{R}^3$ están cerca en la distancia de Hausdorff.

En términos generales, la trayectoria lineal a trozos que une $(A_n, B_n)$ están cerca de la curva

$$\frac{y}{x} + \log x = \text{constant}.$$

El siguiente gráfico demuestra este fenómeno en el caso de $(a, b) = (1000, 500)$ . La línea negra representa la curva $y/x + \log x = \text{const}$ donde la constante se elige para que pase por $(a, b)$ . Además, las curvas en zigzag de colores representan 10 simulaciones de la historia del apocalipsis zombi.

Ahora, haciendo la misma simulación con $(a, b) = (10000, 5000)$ ,

Vemos claramente cómo surge el comportamiento de concentración.