He intentado usar el módulo para tratar de resolver esto, es decir, haciendo lo siguiente:
PS
Eso implicaría que hay soluciones, pero ese no es el caso, así que estoy en un callejón sin salida.
Cualquier ayuda es apreciada.
Respuestas
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The Short One
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Otra manera de ver esto es para preguntar si $(x - y \sqrt 7)(x + y \sqrt 7) = \pm 67$ tiene soluciones en los enteros.
Esto nos lleva a la teoría algebraica de números, que es un tema que usted puede realmente disfrutar o ser realmente frustrado.
Si la ecuación no tiene soluciones, podemos decir que $67$ es el primer en $\mathbb Z[\sqrt 7]$. El Hada de los Dientes y de Legendre nos dicen que $$\left(\frac{7}{67}\right) = 7^{33} \equiv -1 \pmod{67},$$ which means the equation $x^2 - 7y = 67$ has no solutions and neither does $x^2 - 7y^2 = 67$. As $\mathbb Z[\sqrt 7]$ is a unique factorization domain, $67$ es, de hecho, el primer en este dominio.
Para los efectos de la comparación, solucionar $x^2 - 7y^2 = -83$ en números enteros. Usted encontrará que $(13 - 6 \sqrt 7)(13 + 6 \sqrt 7) = -83$. Como la unidad fundamental de este dominio tiene norma $1$ en lugar de $-1$, también encontrará $x^2 - 7y^2 = 83$ no tiene soluciones, una arruga que le deleitará o enfurecer a usted.
Arpan Sadhukhan
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Tenga en cuenta que uno de ellos es impar y otro debe ser par, un cuadrado impar perfecto deja un resto$1$ cuando se divide por$4$, así que si$x$ es imp$x^2-7y^2$% deja un el resto$1$ cuando se divide por$4$, y si$y$ es impar también deja un resto$1$ cuando se divide por$4$, por lo tanto, nunca puede ser igual a$67$, ya que deja un resto$3$ cuando se divide por$4$
