La definición de epsilon-delta del límite dice que$\lim_{x \to a}f(x)=L$ si por cada número$\epsilon >0$ hay un número$\delta>0$ tal que$|f(x)-L|<\epsilon$ siempre que$0<|x-a|<\delta$.
Usando esta definición, he visto muchos ejemplos que piden probar que un límite es verdadero. Pero, ¿cómo usarías esto para evaluar un límite?
Pregunta: Determine$\lim_{x \to 3} x^2$ usando la definición de epsilon-delta del límite (no pruebe que el límite sea 9, pero que llegue al límite sea 9 sin postular).
Con el fin de utilizar $\varepsilon$-$\delta$, primero tienes que hacer una conjetura sobre lo que el límite debería ser. En este caso, la evidente conjetura es que el límite es $9$.
A continuación, usted debe demostrar que, para cada $\varepsilon>0$, la desigualdad de $|x^2-9|<\varepsilon$ está satisfecho por $x$ tal que $0<|x-3|<\delta$, para una adecuada $\delta>0$.
Desde $|x^2-9|=|x+3|\,|x-3|$ y puede suponerse $0<\delta<1$, para $0<|x-3|<\delta$ también tiene $-1<x-3<1$, lo $5<x+3<7$. Tome $\delta=\min(1/2,\varepsilon/7)$ y listo.
En realidad, esto no es necesario, porque se puede demostrar que la función de $x\mapsto x^2$ es continua en el uso general de teoremas (la identidad de la función es continua, el producto de funciones continuas es continua,...). Por lo tanto, este límite es de $9$ por la continuidad.
En otros casos se puede aplicar diferentes técnicas, tales como "apretar", l'Hôpital, expansión de Taylor y otros.
Lo más probable es que pruebe algunas reglas generales sobre los límites, como que el límite de un producto es el producto de los límites, etc., y luego las aplique a su pregunta. O bien, puede hacer una suposición y luego usar la definición para verificar si su suposición es correcta. Pero, como notó, la definición no es constructiva, no puede usarla para construir el límite directamente del aire. Las definiciones no constructivas no son infrecuentes en matemáticas.
Tenga en cuenta que la definición$\epsilon-\delta$ no se utiliza para calcular los límites, sino solo para mostrar algunos casos básicos y teoremas que se utilizan para calcular los límites.
En este caso, para usar la definición debemos asumir a priori que
PS
y luego muestre que$$\lim_{x \to 3} x^2=9$$\forall\epsilon >0$ tal que$\exists\delta>0$ cada vez que$|x^3-9|<\epsilon$.
La prueba se puede hacer manejando la desigualdad y encontrando$0<|x-3|<\delta$ que la satisfaga.
Considerar $|x^2-9| = |x-3||x+3|$. Usted estima$|x+3| = |x-3+6| \le |x-3|+ |6| = |x-3|+6 < 1+6 = 7$ cada vez que$|x-3| < 1$. Por lo tanto, si$|x-3| < 1 \implies |x^2-9| = |x-3||x+3| < 7|x-3|$. También si $|x-3| < \delta\implies |x^2-9| < 7\delta$. Ya que desea$|x^2-9| < \epsilon$, debe tomar$7\delta = \epsilon$ lo que significa$\delta = \dfrac{\epsilon}{7}$. Combinando con$1$ arriba, puede tomar$\delta = \text{min}\left(1,\dfrac{\epsilon}{7}\right)$. Con esta opción de$\delta$, todas las desigualdades anteriores son verdaderas y la afirmación de que: si$0 < |x-3| < \delta$ entonces$|x^2-9| < \epsilon$ es verdadera y esto significa que el límite es$9$.
La definición de un límite que está dado en la forma de una prueba, de modo que sólo puede ser utilizado para comprobar si un número es el límite o no. No puede ser utilizado directamente para evaluar los límites. La definición de límite se utiliza para probar ciertos teoremas (álgebra de límites, teorema del sándwich, límites estándar, etc) que luego pueden ser utilizados para evaluar los límites. El uso de estos teoremas para evaluar límites, es un estándar común, formal y riguroso método.
En el escenario actual, usted tiene que adivinar el límite de alguna manera. La primera es conectar (porque no es un feliz y sorprendente hecho de que para la mayoría de las que ocurren comúnmente funciones en el cálculo, el límite puede ser evaluado por el taponamiento). Otro enfoque es el uso de la calculadora para encontrar los valores de la función cuando la variable independiente toma valores cercanos a punto bajo consideración y encontrar un patrón en los valores resultantes. Estos dos enfoques conducen a la suposición de que $9$ debe ser deseado límite y, a continuación, puede aplicar la definición para comprobar si esta conjetura es verdadera. Usted debe ser capaz de hacer esto por su cuenta, ya que no es muy difícil y, probablemente, de su libro de texto tiene un similar resueltos ejemplo.
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