maximización sobre un simplex

Question

Supongamos que me dan dos conjuntos de números reales$\{a_i\}_{i=1}^N$ y$\{w_i\}_{i=1}^N$ con$w_i>0$. Estoy tratando de encontrar el máximo de la expresión.

PS

sobre un simplex$$\left\lvert \sum_i a_i \left(\frac{w_i s_i}{\sum_j w_j s_j}-s_i\right) \right\rvert$. Sospecho que la respuesta es

PS

que se obtiene al tener$\Delta:= \{\{s_i\}: \sum_i s_i=1, s_i\ge 0\}\subset \mathbb{R}^N$ y$$\max_{i,j} \left\lvert(a_i-a_j) \frac{\sqrt{w_i}-\sqrt{w_j}}{\sqrt{w_i}+\sqrt{w_j}} \right\rvert\;,$ para algunos$s_i=\frac{\sqrt{w_j}}{\sqrt{w_i}+\sqrt{w_j}}$ y$s_j=\frac{\sqrt{w_i}}{\sqrt{w_i}+\sqrt{w_j}}$ y tener el$i$ restante. ¿Cómo puedo demostrar que es verdadero o, si no lo es, cómo resuelvo este problema? Gracias.

Answer 1

A partir de cualquier $\{s_i\}$, supongamos que ninguno de $s_i$s es 0, considere el vector $p=[w_n-w_2, w_1-w_3, \cdots, w_{n-2}-w_n, w_{n-1}-w_1]$, y deje $s_i'=s_i+\epsilon p_i$. Sabemos que $\sum_i p_i=0$ e $\sum_i w_i p_i=0$. Por lo tanto, $\sum_i s_i'=1$ e $\sum_i w_i s_i'=\sum_i w_i s_i$. Ahora se debe calcular el cambio

$\sum_i a_i (\frac{w_i s_i'}{\sum_j w_j s_j'}-s_i')-\sum_i a_i (\frac{w_i s_i}{\sum_j w_j s_j}-s_i)$

Es

$\epsilon\{\frac{\sum_i a_i w_i (w_{i-1}-w_{i+1})}{\sum_i w_i s_i}-\sum_i a_i (w_{i-1}-w_{i+1})\}$

Observe el valor en el tramo es constante cuando se $\{s_i\}$ es trasladado a $\{s_i'\}$ a lo largo de la dirección de la $p$. Por lo tanto, siempre se puede optimizar el valor a lo largo de la dirección de $p$ hasta al menos uno de $s_i'$ se convierte en 0. Entonces uno puede empezar de nuevo y definir el nuevo rumbo $p$ sobre el todavía estrictamente positivo $s_i$s y reducir aún más el número de distinto de cero $s_i$s hasta que sólo 2 de $s_i$ siendo positivo. A continuación, se puede aplicar simples de optimización para obtener el máximo local de punto, que tiene más de 2 estrictamente positivo $s_i$s.