¿Cuál es la mejor manera de introducir congruencias en un curso de teoría de números? Estoy buscando algo que tendrá un impacto. ¿Cuáles son las aplicaciones realmente interesantes de las matemáticas congruentes?
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Betty Mock
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Lo que me funciona con los estudiantes es para darles un problema que entienden completamente el significado de y pedirles a resolverlo. Antes de decirles nada acerca de congruencias, les doy un par de sencillos de la teoría de números resolver problemas, que son difíciles de hacer sin congruencias. Una breve excursión en línea producido estos dos, hay miles de otros, por supuesto, usted podría escoger algo que te atrae.
Muestran que 3 divide $4^n -1$ para todos los enteros n.
Mostrar que $n^5 - n$ es divisible por 3 para todos los enteros n.
Vamos a tratar de probar estas cosas (o lo que sea que usted escoja; estos pueden ser demasiado fácil). A continuación, les mostramos que hay una manera más fácil. Pero primero, por supuesto, usted tiene que presentar una idea. Puede que todavía se retuercen alrededor mientras que usted está introduciendo congruencias, pero van a volver a la vida cuando empiezas a probar esos problemas.
Bueno, es a veces conocido como el reloj de la aritmética y se introdujo el uso de la idea de que el am/pm tiempo puede ser deducido a partir de la $24$ horas de tiempo de uso de $\operatorname{mod} 12$. Esto puede ser útil, pero a mí me parece un poco demasiado lejos de la aritmética modular en sí mismo; la única diferencia es que los tiempos no son, generalmente, se expresa por un número entero (a menos que sólo lo que pasa a estar en la hora), mientras que la aritmética modular se trata con números enteros (positivos y negativos). Además, hay infinitamente muchos enteros congruentes el uno al otro modulo cualquier número; este hecho no se refleja en el ejemplo del reloj. Para que quede claro, no estoy diciendo que el uso de la $24$ horas de tiempo como parte de una introducción a la materia es mala, yo no creo que deba ser la única motivación/ejemplo antes de pasar al lenguaje abstracto de la aritmética modular.
Otra idea podría utilizar es hacer algunos ejercicios simples con números pares e impares. Los tipos de ejercicios que me refiero son los que utiliza el hecho de que un número es par/impar para escribir como $2k$/$2k+1$. Luego de señalar que la única cosa que hace la diferencia en todo, es la de si el número es $2k + {\bf 0}$ o $2k + {\bf 1}$ (en particular, no importa lo $k$ es, sólo que es un entero), así que ¿por qué no hacer un seguimiento de si es un cero o un uno? Alternativamente, si no importa lo $k$ es, consideramos $k = 0$ porque es más simple. Usted podría presentar a $\operatorname{mod} 2$ como la notación que se utiliza cuando usted decide olvidarse de $k$ (o ponerlo a cero). Desde allí se puede hablar de lo $\operatorname{mod} 2$ significa matemáticamente, así como la introducción de $\equiv$. Una vez que usted tiene la descripción matemática, es claro que no hay nada especial acerca de la $2$, por lo que puede utilizar cualquier número entero positivo.
