¿Es posible que cada$0\leq a< b \leq \infty$ encuentre un conjunto$A\subset R^n$ de manera tal que la medida interna de Lebesgue de$A$ sea igual$a$ y la medida externa de Lebesgue sea igual$b$ . Es cierto [Halmos, Teoría de la medida, Cap.3,$\S$ 16, Th. 5] if$a=0$ y$0 < b \leq \infty$. ¿Es cierto en general?
Respuesta
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Es verdad. Para cualquier$c$ con$0 \le c \le \infty$, podemos encontrar un subconjunto$C$ de$\mathbb{R}^+$ con medida interna$0$ y medida exterior$c$.
Para resolver su problema para$\mathbb{R}$, simplemente deje que$c=b-a$, cambie$C$ por$a$ a la derecha, y agregue el intervalo$[0,a]$.
Una idea análoga funciona para$\mathbb{R}^n$.
