Tarea: La botella de Klein se retrae en un bucle.

Question

A partir de la UCLA topología de examen de calificación, el Otoño de 2011:

Deje $K$ ser la botella de Klein. Demuestran que existen homotopically trivial simple curvas cerradas $\gamma_1,\gamma_2$ tal que $K$ retrae a $\gamma_1$, pero no se retrae a $\gamma_2$.

Un candidato para $\gamma_2$ podría ser cualquiera de las curvas que diseccionar $K$ en dos bandas de Möbius, ya que la banda de Möbius no puede retractarse en su límite. Sin embargo, estoy completamente perplejo cuando se trata de encontrar a $\gamma_1$. La idea que he tenido es que todo lo $\gamma_1$ es, no puede ser una curva que particiones $K$ en dos espacios conectados, para cada uno de los lados no interactúan y para cada lado, estaríamos tratando de retirar una compacta conectado el colector en su límite, el cual no es posible.

Algunas sugerencias o consejos, sería muy apreciado.

Answer 1

Se puede considerar que la Botella de Klein $K$ a ser el cociente entre el espacio del cilindro $C = S^1 \times I$ por la identificación de $(z,0) \sim (z^{-1},1)$. Aquí vamos a considerar $S^1$ como el círculo unidad en el plano complejo. Deje $L = 1 \times I$. Yo reclamo que $K$ retrae hacia el bucle $L'$ definido por $L$ bajo el cociente mapa.

Deje $q : C \to K$ ser el cociente mapa. El mapa de $q$ satisface las siguientes universal de los bienes:

Si $g : C \to Z$ es un mapa continuo de $C$ a cualquier espacio topológico $Z$ tal que $a \sim b$ implica $g(a) = g(b)$ para todos los $a,b \in C$ entonces existe un único mapa $f : K \to Z$ tal que $g = f \circ q$.

Definir un mapa de $g : C \to S^1$ como sigue: Primer proyecto en $L$, entonces el cociente de a $L'$. Este es un mapa continuo que se conserva en $\sim$, por lo tanto, un mapa continuo $f : K \to L'$ existe y debe ser la identidad en $L'$ por el universal de la propiedad.