Escoger un $\delta$ para una conveniente $\varepsilon$ ?

Question

Estoy estudiando algunas pruebas en un libro de la biblioteca y a diferencia de mi propio libro, no demuestra que una determinada expresión es estrictamente menor que $\varepsilon$ (si se le da un tratamiento adecuado $\delta$ y $\vert x-a\vert < \delta$ etc.). En cambio, muestra que es menor que alguna expresión que involucre $\varepsilon$ .

Por ejemplo, dado $\varepsilon > 0$ podemos elegir un $\delta > 0$ así que $|f(x) - g(a)| < \text{insert stuff} < k \cdot \varepsilon$ cuando $|x-a| < \delta$ y por lo tanto $f(x) - g(a) \to 0$ cuando $x \rightarrow a$ .

¿Cómo tiene esto sentido formalmente? (Intuitivamente, estoy convencido.)

No tengo mucha experiencia con $\varepsilon$ - $\delta$ -prueba, así que puede que me esté perdiendo algo obvio.

Answer 1

Puedes pensar en $\epsilon$ - $\delta$ pruebas como un juego: me das una $\epsilon$ y te encontraré un $\delta$ para que $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta$ .

Supongamos que mi prueba le da un $\delta$ para que $|f(x)-f(y)| < k\cdot \epsilon$ Entonces, en lugar de darme $\epsilon$ En lugar de eso, puedes darme $\epsilon/k$ . De esta manera, le daré una $\delta$ para que $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ . Lo importante aquí es que $k$ no puede depender de $\epsilon$ pero hay que fijarlo, para que en nuestro juego se sepa de antemano qué número hay que dar realmente (por ejemplo, en lugar de $\epsilon$ , me estás dando $\epsilon/k$ ) para que $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ .

Answer 2

Para dar sentido a esto formalmente hacemos lo siguiente: Se sabe que cuando $0<\vert x-a\vert< \delta$ tenemos $\vert f(x)-g(a)\vert <k \varepsilon$ . Ahora simplemente decimos que $\varepsilon'=\varepsilon \cdot k$ .

Ahora podemos decir que para cada $\varepsilon '>0$ hay un $\delta<0$ , tal que ...etc. Esta es la definición formal de un límite tal y como la conoces, que demuestra la igualdad de los enunciados.